Giải bài 17 trang 75 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Đề bài

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} {x^3} =  – 8\)                                          

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} =  – 4\)

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\). Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thoả mãn \(\lim {x_n} =  – 2\).

Ta có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim x_n^3 = {\left( { – 2} \right)^3} =  – 8\). Như vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} {x^3} =  – 8\).

b) Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}\). Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thoả mãn \({x_n} \ne  – 2\) và \(\lim {x_n} =  – 2\).

Ta có \(\lim g\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{x_n^2 – 4}}{{{x_n} + 2}} = \lim \left( {{x_n} – 2} \right) = \left( { – 2} \right) – 2 =  – 4\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} =  – 4\).