9. Đề thi học kì 1 Toán 10 – Đề số 9

Đề bài

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Tìm tập xác định ${\rm{D}}$ của hàm số $y = \sqrt {6 – 3x}  + \frac{1}{{\sqrt {x – 1} }}.$

A. ${\rm{D}} = \left[ {1;2} \right].$ B. ${\rm{D}} = \left( {1;2} \right).$ C. ${\rm{D}} = (1;2].$                        D. ${\rm{D}} = \left[ { – 1;2} \right].$

Câu 2: Cho mệnh đề P(x): “$\forall x \in \mathbb{R}$, ${x^2} + x + 1 > 0$”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x) là

     A. “$\forall x \in \mathbb{R}$, ${x^2} + x + 1 < 0$”.                                      B. “$\forall x \in \mathbb{R}$, ${x^2} + x + 1 \le 0$”.

     C. “$\exists x \in \mathbb{R}$, ${x^2} + x + 1 \le 0$”.                                    D. “$\exists x \in \mathbb{R}$, ${x^2} + x + 1 > 0$”.

 Câu 3: Cho hàm số $y = \frac{{\sqrt {x – 2}  – 2}}{{x – 6}}$. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số:

A. $(6;0)$.                      B. $(2; – 0,5)$.             C. $(2;0,5)$.                 D. $(0;6)$.

 Câu 4: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng:

     A. $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| x \right| < 1} \right\}$                                      B. $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|6{x^2} – 7x + 1 = 0} \right\}$                     C. $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|{x^2} – 4x + 2 = 0} \right\}$                                 D. $A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|{x^2} – 4x + 3 = 0} \right\}$

 Câu 5: Cho hai tập hợp $A = \left( { – \infty ;2} \right]$ và $B = \left( { – 3;5} \right]$. Tìm mệnh đề sai.

     A. $A \cap B = \left( { – 3;2} \right].$                       B. $A\backslash B = \left( { – \infty ; – 3} \right)$.     C. $A \cup B = \left( { – \infty ;5} \right]$.               D. $B\backslash A = \left( {2;5} \right]$.

Câu 6: Cho tập hợp: $B = \left\{ {x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right\}.$ Số tập hợp con của tập hợp $B$ là

     A. 29                                  B. 30                                  C. 31                                  D. 32

 Câu 7: Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$, $(a > 0)$ nghịch biến trong khoảng nào sau đậy?

A. $\left( { – \infty ;\, – \frac{b}{{2a}}} \right).$                                      B. $\left( { – \frac{b}{{2a}};\, + \infty } \right).$                    C. $\left( { – \frac{\Delta }{{4a}};\, + \infty } \right).$                           D. $\left( { – \infty ;\, – \frac{\Delta }{{4a}}} \right).$

 Câu 8: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

     A. $2{x^2} + 3y > 0$       B. ${x^2} + {y^2} < 2$    C. $x + {y^2} \ge 0$        D. $x + y \ge 0$

Câu 9: Miền nghiệm của bất phương trình $\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x – \left( {1 – \sqrt 3 } \right)y \ge 2$ chứa điểm nào sau đây?

     A. A(1;-1)                          B. B(-1;-1)                         C. C(-1;1)                          D. $D\left( { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)$

Câu 10: (ID: 590544) Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng.

     A. $E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos G.$                                       B. $E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos E.$

     C. $E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} – 2EG.FG.\cos E.$                                         D. $E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} – 2EG.FG.\cos G.$

Câu 11: (ID: 590545) Cho tam giác ABC biết $\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \sqrt 3$ và $AB = 2\sqrt 2$. Tính AC.

     A. $2\sqrt 3 .$                  B. $2\sqrt 5 .$                  C. $2\sqrt 2 .$                  D. $2\sqrt 6 .$

Câu 12: (ID: 590546) Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, $\cos A = \frac{3}{5}.$ Độ dài đường cao ${h_a}$ của tam giác ABC là:

     A. $8.$                              B. $8\sqrt 3 .$                  C. $\frac{{7\sqrt 2 }}{2}.$           D. $7\sqrt 2 .$

Câu 13: Hàm số bậc hai nào sau đây có đồ thị là parabol có đỉnh là $S\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right)$và đi qua $A\left( {1; – 4} \right)$?

A. $y =  – {x^2} + 5x – 8$.                                   B. $y =  – 2{x^2} + 10x – 12$.

C. $y = {x^2} – 5x$.       D. $y =  – 2{x^2} + 5x + \frac{1}{2}$.

Câu 14: Cho hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x – 5y – 1 > 0}\\{2x + y + 5 > 0}\\{x + y + 1 < 0}\end{array}} \right.$. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

     A. $O\left( {0;0} \right)$ B. $M\left( {1;0} \right)$                                           C. $N\left( {0; – 2} \right)$     D. $P\left( {0;2} \right)$

Câu 15: Cho parabol $y = a{x^2} + bx + c$ có đồ thị như hình sau

Phương trình của parabol này là

A. $y =  – {x^2} + x – 1$.                                     B. $y = 2{x^2} + 4x + 1$.       C. $y = {x^2} – 2x – 1$.                                   D. $y = 2{x^2} – 4x – 1$.

 Câu 16: Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a.

     A. $r = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$                                    B. $r = \frac{{a\sqrt 2 }}{5}$      C. $r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$            D. $r = \frac{{a\sqrt 5 }}{7}$

Câu 17: Tam giác ABC có $AB = \sqrt 2 ,\,\,AC = \sqrt 3$ và $C = {45^0}$. Tính độ dài cạnh BC.

     A. $BC = \sqrt 5$           B. $BC = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}$                  C. $BC = \frac{{\sqrt 6  – \sqrt 2 }}{2}$                         D. $BC = \sqrt 6$

Câu 18: Bảng biến thiên của hàm số $y =  – {x^2} + 2x – 1$ là:

A.           B. 

C.          D. 

 Câu 19: Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?

     A. $\left( { – 3; + \infty } \right).$                              B. $\left( {5; + \infty } \right).$   C. $\{  – 3;5\}$     D. $\left( { – 3;5} \right].$

Câu 20: Giá trị lớn nhất của hàm số $y =  – 3{x^2} + 2x + 1$ trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ là:

A.                                    B. 0                               C. $\frac{1}{3}$          D. $– 20$

Câu 21: Cho hai vectơ $\vec a$ và $\overrightarrow b$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,$ $\left| {\overrightarrow b } \right| = 2$ và $\vec a.\vec b =  – 3.$ Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b .$

A. $\alpha  = {30^0}.$                        B. $\alpha  = {45^0}.$ C. $\alpha  = {60^0}.$  D. $\alpha  = {120^0}.$

Câu 22: Cho tam giác cân $ABC$ có$\widehat A = {120^0}$và $AB = AC = a$. Lấy điểm $M$trên cạnh $BC$ sao cho $BM = \frac{{2BC}}{5}$. Tính độ dài $AM.$

     A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$                                               B. $\frac{{11a}}{5}$             C. $\frac{{a\sqrt 7 }}{5}$                                     D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{4}$

Câu 23: Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

     A. $2x – y < 3$                 B. $2x – y > 3$                  C. $x – 2y < 3$                 D. $x – 2y > 3$

Câu 24: Cho góc $\alpha$ với ${0^0} < \alpha  < {180^0}$. Tính giá trị của $\cos \alpha$, biết $\tan \alpha  =  – 2\sqrt 2$.

     A. $– \frac{1}{3}.$           B. $\frac{1}{3}.$              C. $\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$           D. $\frac{{\sqrt 2 }}{3}.$

Câu 25: Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn cùng một điểm trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo được khoảng cách AB = 40cm, $\angle CAB = {45^0}$, $\angle CBA = {70^0}$. Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?

     A. 53 m                              B. 30 m                              C. 41,5 m                           D. 41 m

Câu 26: Trái đất quay một vòng quanh mặt trời là 365 ngày. Kết quả này có độ chính xác là $\frac{1}{4}$ ngày. Sai số tương đối là:

     A. 0,0068%.                      B. 0,068%.                         C. 0,68%.                          D. 6,8%.

Câu 27: Cho mẫu số liệu: 1    3    6    8    9    12. Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

     A. Q₁ = 3, Q₂ = 6,5, Q₃ = 9.                                         B. Q₁ = 1, Q₂ = 6,5, Q₃ = 12.

     C. Q₁ = 6, Q₂ = 7, Q₃ = 8.                                            D. Q₁ = 3, Q₂ = 7, Q₃ = 9.

Câu 28: Cho bốn điểm A,B,C,D phân biệt. Khi đó, $\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} – \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} – \overrightarrow {AD}$ bằng véctơ nào sau đây?

     A. $\vec 0$                       B. $\overrightarrow {BD}$                                     C. $\overrightarrow {AC}$   D. $2\overrightarrow {DC}$

 Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

     A. $\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BD}$                          B. $\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \vec 0$

     C. $\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} – \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} } \right|$      D. $\left| {\overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} – \overrightarrow {AB} } \right|$

Câu 30: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng $a = 15,318$ biết $\bar a = 15,318 \pm 0,006.$

A. 15,3.               B. 15,31.                   C. 15,32.                  D. 15,4.

Câu 31: Sản lượng lúa của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây: (đơn vị: tạ)

Phương sai là

     A. 1,24                               B. 1,54                               C. 22,1                               D. 4,70

Câu 32: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm $G$. Đặt $\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = b$. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow {BG}$ theo $\vec a$ và $\vec b$.

     A. $\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b$              B. $\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b$     C. $\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b$              D. $\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b$

Câu 33: Cho hình vuông ABCD cạnh $a$, $M$ là điểm thay đổi. Độ dài véctơ $\vec u = \overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{\;}} – 3\overrightarrow {MD}$ là:

     A. $4a\sqrt 2$                                                           B. $a\sqrt 2$                   C. $3a\sqrt 2$     D. $2a\sqrt 2$

Câu 34: Cho tam giác ABC đều cạnh a, G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây sai?

     A. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}{a^2}.$        B. $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  =  – \frac{1}{2}{a^2}.$            C. $\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB}  = \frac{1}{6}{a^2}.$              D. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG}  = \frac{1}{2}{a^2}.$

Câu 35: Cho hình chữ nhật ABCD có $AB = a$ và $AD = a\sqrt 2$. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính $\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}$

     A. $\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0$    B. $\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  =  – {a^2}\sqrt 2$                   C. $\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = {a^2}\sqrt 2$                        D. $\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = 2{a^2}$

II. Tự luận (3 điểm)

Câu 1: Cho ba lực $\overrightarrow {{F_1}} {\rm{\;}} = \overrightarrow {MA}$, $\overrightarrow {{F_2}} {\rm{\;}} = \overrightarrow {MB}$, $\overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \overrightarrow {MC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ lực $\overrightarrow {{F_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{F_2}}$ đều bằng 50 N và tam giác MAB vuông tại M. Tìm hướng và cường độ lực $\overrightarrow {{F_3}}$

Câu 2: Quang ghi lại số tin nhắn điện thoại mà bạn ấy nhận được từ ngày 1/11 đến ngày 15/11 ở bảng sau:

Xác định các giá trị ngoại lệ (nếu có).

Câu 3: Tìm parabol (P) $y = a{x^2} + bx + c$ biết (P) có đỉnh $I(2;3)$ và giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -1. Vẽ đồ thị hàm số tìm được.

—–HẾT—–

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

 Câu 1 (NB):

Phương pháp:

• $\sqrt {P(x)}$  có nghĩa khi $P(x) \ge 0$.
• $\frac{{Q(x)}}{{\sqrt {P(x)} }}$ có nghĩa khi $P(x) > 0$.

Cách giải:

Hàm số $y = \sqrt {6 – 3x}  + \frac{1}{{\sqrt {x – 1} }}$ xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}6 – 3x \ge 0\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x \le 2$

Vậy tập xác định $D = (1;2]$

Chọn C.

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in K,\,\,P\left( x \right)$” là mệnh đề “$\exists x \in K,\,\,\overline {P\left( x \right)}$”.

Cách giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x):  “$\forall x \in \mathbb{R}$, ${x^2} + x + 1 > 0$” là “$\exists x \in \mathbb{R}$, ${x^2} + x + 1 \le 0$”.

Chọn C.

 Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào hàm số

Cách giải:

Với $x = 6,x = 0$thì $y = \frac{{\sqrt {x – 2}  – 2}}{{x – 6}}$ không xác định. Suy ra điểm $(6;0)$ và $(0;6)$không thuộc đồ thị hàm số

Với $x = 2$ thì $y = \frac{{\sqrt {2 – 2}  – 2}}{{2 – 6}} = 0,5 \ne  – 0,5$. Suy ra điểm $(2; – 0,5)$không thuộc đồ thị hàm số, điểm $(2;0,5)$ thuộc đồ thị hàm số

 Chọn C.

 Câu 4 (TH):

Phương pháp:

Tập hợp rỗng không chứa phần tử nào.

Cách giải:

+) Xét đáp án A: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \mathbb{R}}\\{\left| x \right| < 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{\;}} – 1 < x < 1$ $\Rightarrow A = \left( { – 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right) \ne \emptyset$

$\Rightarrow$ Loại đáp án A.

+) Xét đáp án B: $6{x^2} – 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{6}}\end{array}} \right.$  $\Rightarrow A = \left\{ 1 \right\} \ne \emptyset$

$\Rightarrow$ Loại đáp án B.

+) Xét đáp án C: ${x^2} – 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 2 }\\{x = 2 – \sqrt 2 }\end{array}} \right.$ $\Rightarrow A = \emptyset$

Chọn C.

 Câu 5 (VD):

Phương pháp:

Thực hiện các phép toán trên tập hợp. Sử dụng trục số.

Cách giải:

+) $A \cap B = \left( { – 3;2} \right]$

=> A đúng.

+) $A\backslash B = \left( { – \infty ; – 3} \right]$

=> B sai.

+) $A \cup B = \left( { – \infty ;5} \right]$

=> C đúng.

+) $B\backslash A = \left( {2;5} \right]$.

=> D đúng.

Chọn B.

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Cho tập hợp B có n phần tử. Số tập hợp con của B là ${2^n}$

Cách giải:

Tập hợp $B = \left\{ {x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right\}$ có 5 phần tử.

Số tập hợp con của tập B là: ${2^5} = 32$

Chọn D.

 Câu 7 (NB):

Cách giải:

Với $a > 0$, ta có bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ;\, – \frac{b}{{2a}}} \right).$

Chọn A.

 Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là $ax + by + c < 0$, $ax + by + c > 0$, $ax + by + c \le 0$, $ax + by + c \ge 0$, trong đó a, b, c là các số cho trước sao cho ${a^2} + {b^2} \ne 0$.

Cách giải:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $x + y \ge 0$.

Chọn D.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào bất phương trình.

Cách giải:

Thay tọa độ điểm A(1;-1) ta có: $\left( {1 + \sqrt 3 } \right) + \left( {1 – \sqrt 3 } \right) = 2 \ge 2$ (Đúng).

Vậy điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Chọn A.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng định lí cosin trong tam giác: ${a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A.$

Cách giải:

$E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} – 2EG.FG.\cos G$ là mệnh đề đúng.

Chọn D.

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ABC: $\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{AB}}$.

Cách giải:

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{AB}}$.

Theo giả thiết $\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \sqrt 3  \Rightarrow \frac{{AC}}{{AB}} = \sqrt 3  \Rightarrow AC = \sqrt 3 AB.$

Vậy $AC = \sqrt 3 .2\sqrt 2  = 2\sqrt 6 .$

Chọn D.

Câu 12 (VD):

Phương pháp:

Tính sinA.

Tính diện tích tam giác ABC: $S = \frac{1}{2}bc.\sin A.$

Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính a: ${a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A.$

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2}a{h_a}$, từ đó tính ${h_a}$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A = \frac{{16}}{{25}}\end{array}$

Vì ${0^0} < A < {180^0}$ nên sinA > 0 $\Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}.$

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2}bc.\sin A. = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14.$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A.\\\,\,\,\,\,\, = {7^2} + {5^2} – 2.7.5.\frac{3}{5}\\\,\,\,\,\,\, = 32\\ \Rightarrow a = 4\sqrt 2 .\end{array}$

Lại có: $S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.14}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}.$

Chọn C.

Câu 13 (TH):

Cách giải:

Hàm số bậc hai cần tìm có phương trình: $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$

Hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có đỉnh là $S\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right)$và đi qua $A\left( {1; – 4} \right)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{5}{2}\\a.\frac{{25}}{4} + b.\frac{5}{2} + c = \frac{1}{2}\\a + b + c =  – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ – b}}{a} = 5\\25a + 10b + 2c = 2\\a + b + c =  – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{\rm{a + b = 0}}\\25a + 10b + 2c = 2\\a + b + c =  – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  – 2\\b = 10\\c =  – 12\end{array} \right.$

Chọn B.

 Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

Cách giải:

Dễ thấy các điểm $O\left( {0;0} \right)$, $M\left( {1;0} \right)$, $P\left( {0;2} \right)$ không thỏa mãn bất phương trình $x + y + 1 < 0$ nên không thỏa mãn cả hệ bất phương trình.

Chọn C.

Câu 15 (TH):

Cách giải:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0\,\,;\,\, – 1} \right)$ nên $c =  – 1$.

Tọa độ đỉnh $I\left( {1\,\,;\, – 3} \right)$, ta có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} – \frac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 – 1 =  – 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b =  – 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  – 4\end{array} \right.$.

Vậy parabol cần tìm là: $y = 2{x^2} – 4x – 1$.

Chọn D.

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác $S = \sqrt {p\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)}  = pr$.

Cách giải:

Nửa chu vi tam giác đều cạnh a là $p = \frac{{a + a + a}}{2} = \frac{{3a}}{2}$.

Tam giác đều cạnh a có diện tích $S = \sqrt {\frac{{3a}}{2}\left( {\frac{{3a}}{2} – a} \right)\left( {\frac{{3a}}{2} – a} \right)\left( {\frac{{3a}}{2} – a} \right)}  = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Lại có $S = pr \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}:\frac{{3a}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$.

Chọn C.

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác: $\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} – A{B^2}}}{{2AC.BC}}$.

Cách giải:

Áp dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l}\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} – A{B^2}}}{{2AC.BC}}\\ \Leftrightarrow \cos {45^0} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + B{C^2} – {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\sqrt 3 .BC}}\\ \Leftrightarrow \sqrt 6 BC = B{C^2} + 1\\ \Leftrightarrow B{C^2} – \sqrt 6 BC + 1 = 0\\ \Leftrightarrow BC = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}\end{array}$.

Chọn B.

Câu 18 (TH):

Cách giải:

Hàm số $y =  – {x^2} + 2x – 1$ có $a =  – 1 < 0$, nên loại C,D.

Hoành độ đỉnh ${x_I} =  – \frac{b}{{2a}} =  – \frac{2}{{2.( – 1)}} = 1$

Chọn A.

 Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Biểu diễn tập hợp trên trục số.

Cách giải:

Hình vẽ đã cho là minh họa cho tập hợp $( – 3;5]$

Chọn D.

Câu 20 (VD):

Cách giải:

Ta có $– \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}$ và $a =  – 3 < 0$. Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)$.

Mà $\left[ {1;3} \right] \subset \left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)$.

Do đó trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 1$, tức là $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 0$.

Chọn B.

Câu 21 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng công thức $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$

Cách giải:

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ – 3}}{{3.2}} =  – \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^o}$

Chọn D.

Câu 22 (VD):

Phương pháp:

– Tính BC dựa vào định lí côsin trong tam giác cân ABC.

– Tính BM.

– Tính AM dựa vào định lí côsin trong tam giác ABM.

Cách giải:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} – 2ABAC\cos {{120}^0}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2} – 2a.a.\left( { – \frac{1}{2}} \right)}  = a\sqrt 3 {\rm{ }} \Rightarrow BM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{5}$

$AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2} – 2AB.BM.cos{{30}^0}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{5}} \right)}^2} – 2a.\frac{{2a\sqrt 3 }}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}  = \frac{{a\sqrt 7 }}{5}$.

Chọn C.

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Tìm phương trình đường thẳng d. Loại đáp án.

Thay tọa độ điểm O(0;0) vào các bất phương trình chưa bị loại ở các đáp án, tiếp tục loại đáp án.

Cách giải:

Đường thẳng d đi qua điểm (3;0) nên loại đáp án A, B.

Ta thấy điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào biểu thức $x – 2y$ ta có: $0 – 2.0 = 0 < 3$

Do đó bất phươn trình cần tìm là $x – 2y > 3$

Chọn D.

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức: $1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( { – 2\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{9}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\\ \Leftrightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}$

Vì ${0^0} < \alpha  < {180^0}$ $\Rightarrow \sin \alpha  > 0$.

Vậy $\sin \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$

Chọn C.

Câu 25 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng hệ quả định lí Sin trong tam giác ABC.

Cách giải:

Ta có: $\angle ACB = {180^0} – {45^0} – {70^0} = {65^0}$

Áp dụng hệ quả định lí Sin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{AC}}{{\sin {{70}^0}}} = \frac{{40}}{{\sin {{65}^0}}}\\ \Rightarrow AC = \frac{{40}}{{\sin {{65}^0}}}.\sin {70^0} \approx 41,47\,\,\left( m \right)\end{array}$

Chọn C.

Câu 26 (TH):

Phương pháp:

Sai số tương đối ${\delta _a} \le \frac{d}{{\left| a \right|}}$.

Cách giải:

Ta có: $d = \frac{1}{4} \Rightarrow \delta  \le \frac{d}{{\left| a \right|}} = \frac{1}{{4.365}} = 0,0068\%$.

Chọn A.

Câu 27 (NB):

Phương pháp:

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị ta làm như sau:

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

• Tìm trung vị. Giá trị này là Q₂.

• Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ). Giá trị này là Q₁.

• Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ). Giá trị này là Q₃.

Q₁, Q₂, Q₃ được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu.

Cách giải:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 1    3    6    8    9    12.

Cỡ mẫu n = 6 chẵn nên ${Q_2} = \frac{{6 + 8}}{2} = 7.$

Nửa số liệu bên trái Q₂: 1    3   6 => Q₁ = 3.

Nửa số liệu bên phải Q₂: 8    9   12 => Q₃ = 9.

Vậy Q₁ = 3, Q₂ = 7, Q₃ = 9.

Chọn D.

Câu 28 (NB):

Phương pháp:

Nhóm $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC}$; $\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AD}$, áp dụng quy tắc cộng vectơ.

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} – \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} – \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right) – \left( {\overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} – \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \vec 0$.

Chọn A.

Câu 29 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc hình bình hành tính $\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC}$.

Tính độ dài vectơ vừa tìm được.

Cách giải:

Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a$.

Chọn A.

Câu 30 (TH):

Cách giải:

Ta có: $\bar a = 15,318 \pm 0,006 \Rightarrow d = 0,006$ có chữ số khác 0 đầu tiên bên trái là ở hàng phần nghìn.

Làm tròn số $a = 15,318$ chính xác đến hàng phần trăm, kết quả là: $15,32$

Chọn B.

Câu 31 (TH):

Phương pháp:

Đối với bảng phân bố tần số, phương sai được tính theo công thức:

${s^2} = \frac{1}{N}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} – \bar x} \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} – \bar x} \right)}^2} + {\rm{\;}} \ldots {\rm{\;}} + {n_k}{{\left( {{x_k} – \bar x} \right)}^2}} \right]$

Với ${n_i};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {f_i}$ lần lượt là tần số, tần suất của giá trị ${x_i}$.

Cách giải:

Bảng phân số tần số:

*) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:

$\bar x = \frac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1{\mkern 1mu}$(tạ)

*) Phương sai:

${s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ {5.{{\left( {20 – 22,1} \right)}^2} + 8.{{\left( {21 – 22,1} \right)}^2} + 11.{{\left( {22 – 22,1} \right)}^2} + 10.{{\left( {23 – 22,1} \right)}^2} + 6.{{\left( {24 – 22,1} \right)}^2}} \right]$$= 1,54$ (tạ)

Chọn B.

Câu 32 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để biểu diễn véctơ.

Cách giải:

$\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$

$\Rightarrow \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$

Mặt khác, $\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec b$ nên ta có: $\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b$

Vậy $\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b$.

Chọn A.

Câu 33 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc cộng vecto để tìm được vecto $\vec u$.

Cách giải:

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: $AB = BC = CD = DA = 2$; $AC = BD = a\sqrt 2$.

Ta có:

$\vec u = \overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{\;}} – 3\overrightarrow {MD}$

${\mkern 1mu}  = \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} } \right) – 3\overrightarrow {MD}$

${\mkern 1mu}  = \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} {\rm{\;}} – 3\overrightarrow {MD}$

$= \overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC}$

$= \left( {\overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {DB}$

$= \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB}$

$= 2\overrightarrow {DB}$

$\Rightarrow \vec u = 2\overrightarrow {DB}$

$\Rightarrow \left| {\vec u} \right| = \left| {2.\overrightarrow {DB} } \right| = 2.a.\sqrt 2 {\rm{\;}} = 2\sqrt 2 a$

Chọn D.

Câu 34 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = a.b.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Cách giải:

Ta có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos A = {a^2}\cos {60^ \circ } = \frac{1}{2}{a^2}$ => A đúng

$\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = AC.CB.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a.a.\cos {120^ \circ } =  – \frac{1}{2}{a^2}$ => B đúng

+ $AG = \frac{2}{3}AM;AM = AC.\sin C = a.\sin {60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\Rightarrow AG = BG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB}  = GA.GB.\cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {120^ \circ } =  – \frac{1}{6}{a^2}$ => C sai.

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG}  = AB.AG.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AG} } \right) = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {30^ \circ } = \frac{1}{2}{a^2}$ => D đúng.

Chọn C.

Câu 35 (VD):

Cách giải:

Ta có:

$AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {2{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3$

Lại có:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BK}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AD} \\ =  – {a^2} + 0 + 0 + \frac{1}{2}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\\ = 0\end{array}$

Chọn A.

II. Tự luận (3 điểm)

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Vật đứng yên khi tổng các lực tác động lên điểm bằng 0.

Cách giải:

Có cường độ lực $\overrightarrow {{F_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{F_2}}$ đều bằng 50 N  và tam giác MAB vuông tại M

$\Rightarrow$ Tam giác MAB vuông cân tại M

Lấy điểm D sao cho MADB là hình vuông

 $\Rightarrow MD = \sqrt {M{A^2} + A{D^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {M{A^2} + M{B^2}} {\rm{\;}} = 50\sqrt 2 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N$

Vì vật đứng yên nên tổng các lực tác động lên điểm bằng 0

$\Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \vec 0$ hay $\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \vec 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} – \left( {\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} } \right) = {\rm{\;}} – \overrightarrow {MD}$

Vậy lực $\overrightarrow {{F_3}}$ có hướng ngược với $\overrightarrow {MD}$ và có cường độ bằng $50\sqrt 2 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N \approx 70,71{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N$

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

+) Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là Δ_Q, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, tức là

Δ_Q = Q₃ – Q₁.

+) Giá trị ngoại lệ: Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q.

Cách giải:

Từ số liệu, ta lập bảng tần số

Cỡ mẫu $n = 15$ nên trung vị ${Q_2} = {x_8} = 2$

${Q_1}$ là trung vị của mẫu: 1   1    2     2     2     2     2. Do đó ${Q_1} = 2$

${Q_3}$ là trung vị của mẫu: 3   3    3     4     4     6    30. Do đó ${Q_3} = 4$

Khi đó khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q}\; = {\rm{ }}{Q_3}\; – {\rm{ }}{Q_1}\; = 4–2 = 2.$

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn $x > {Q_3}\; + {\rm{ }}1,5{\Delta _Q}\; = 4 + 1,5.2 = 7$

Hoặc $x < {Q_1}\; – {\rm{ }}1,5{\Delta _Q}\; = 2 – 1,5.2 =  – 1$

Vậy đối chiếu mẫu số liệu của Quang suy ra giá trị ngoại lệ là 30.

Câu 3 (VD):

Cách giải:

Parabol (P) $y = a{x^2} + bx + c$ giao với Oy tại điểm có tọa độ $(0;c)$, do đó $c =  – 1$

(P) có hoành độ đỉnh ${x_I} =  – \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow b =  – 4a$

Điểm $I(2;3)$ thuộc (P) nên $a{.2^2} + b.2 – 1 = 3$ hay $4a + 2b = 4$

Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b = 4\\b =  – 4a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a =  – 1\end{array} \right.$

Vậy parabol cần tìm là $y =  – {x^2} + 4x – 1$

* Vẽ parabol

Đỉnh $I(2;3)$

Trục đối xứng $x = 2$

Giao với Oy tại A(0;-1), lấy điểm B(4;-1) đối xứng với A qua trục đối xứng

Lấy điểm C(1;2) và D(3;2) thuộc đồ thị.