Giải bài 8 trang 94 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} – 9}}{{\left| {x + 3} \right|}}\;khi\;x \ne  – 3\\\;\;\;\;a\;\;\;\;\,khi\;x =  – 3\end{array} \right.$

a) Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ + }} f\left( x \right) – \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ – }} f\left( x \right)$.

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại $x =  – 3$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ + }} \frac{{{x^2} – 9}}{{\left| {x + 3} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ + }} \frac{{{x^2} – 9}}{{x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ + }} \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ + }} \left( {x – 3} \right) =  – 6$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ – }} \frac{{{x^2} – 9}}{{\left| {x + 3} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ – }} \frac{{{x^2} – 9}}{{ – x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ – }} \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{ – \left( {x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ – }} \left( {3 – x} \right) = 6$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ + }} f\left( x \right) – \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ – }} f\left( x \right) =  – 6 – 6 =  – 12$

b) Theo a ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ + }} f\left( x \right) =  – 6,\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ – }} f\left( x \right) = 6 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ – }} f\left( x \right)$. Do đó, không tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 3} f\left( x \right)$. Vậy không có giá trị nào của a để hàm số f(x) liên tục.