3. Dạng 3: Bài toán hai tỉ số

Loại 1: Tổng hai số không thay đổi

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chiều dài bằng $\frac{3}{2}$ chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng lên 5 m và giảm chiều dài đi 5m thì chiều dài bằng $\frac{2}{3}$ chiều rộng. Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu.

Giải

Vì nửa chu vi của hình chữ nhật không thay đổi nên ta chọn nửa chu vi làm đơn vị.

Chiều rộng ban đầu so với nửa chu vi là: $\frac{2}{{2 + 3}} = \frac{2}{5}$ (nửa chu vi)

Chiều rộng sau khi tăng thêm 5m so với nửa chu vi là: $\frac{3}{{2 + 3}} = \frac{3}{5}$ (nửa chu vi)

Phân số chỉ 5m là:

     $\frac{3}{5} – \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$ (nửa chu vi)

Nửa chu vi của hình chữ nhật là:

     5 x 5 = 25 (m)

Chiều rộng ban đầu là:

    25 : (2 + 3) x 2 = 10 (m)

Chiều dài ban đầu là:

     25 – 10 = 15 (m)

Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là:

     15 x 10 = 150 (m²)

            Đáp số: 150 m²

Ví dụ 2: Một lớp học có số học sinh nam gấp 2 lần số học sinh nữ. Nếu giảm 4 học sinh nam đi và tăng 4 học sinh nữ lên thì số học sinh nam lúc này bằng $\frac{{16}}{{11}}$ số học sinh nữ. Tính số học sinh nữ ban đầu.

Giải

Vì tổng số học sinh cả lớp không thay đổi nên ta chọn tổng số học sinh làm đơn vị.

Ban đầu, số học sinh nam so với số học sinh cả lớp là: $\frac{2}{{2 + 1}} = \frac{2}{3}$ (tổng số học sinh)

Sau khi giảm đi 4 học sinh, số học sinh nam so với số học sinh cả lớp là: $\frac{{16}}{{16 + 11}} = \frac{{16}}{{27}}$ (tổng số học sinh)

Phân số chỉ 4 học sinh là: 

$\frac{2}{3} – \frac{{16}}{{27}} = \frac{2}{{27}}$ (tổng số học sinh)

Tổng số học sinh của lớp là:

$4:\frac{2}{{27}} = 54$ (học sinh)

Số học sinh nữ ban đầu là:

54 : (2 + 1) = 18 (học sinh)

Đáp số: 18 học sinh

Loại 2: Hiệu hai số không thay đổi

Ví dụ 1: Hiện nay tuổi con bằng $\frac{1}{6}$ tuổi bố. 8 năm nữa, tuổi bố bằng $\frac{{22}}{7}$ tuổi con. Hỏi hiện nay bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?

Giải

Vì hiệu số tuổi của bố và con không thay đổi nên ta chọn hiệu số tuổi làm đơn vị.

Hiện nay, tuổi bố so với hiệu số tuổi của bố và con là $\frac{6}{{6 – 1}} = \frac{6}{5}$ (hiệu số tuổi)

8 năm nữa, tuổi bố so với hiệu số tuổi của bố và con là: $\frac{{22}}{{22 – 7}} = \frac{{22}}{{15}}$ (hiệu số tuổi)

Phân số chỉ 8 năm là:

       $\frac{{22}}{{15}} – \frac{6}{5} = \frac{4}{{15}}$ (hiệu số tuổi)

Bố hơn con số tuổi là:

        $8:\frac{4}{{15}} = 30$ (tuổi)

Hiện nay, tuổi của bố là:

      30 : (6 – 1) x 6 = 36 (tuổi)

Hiện nay, tuổi của con là:

     36 – 30 = 6 (tuổi)

        Đáp số: Bố 36 tuổi; Con 6 tuổi

Ví dụ 2: Một thư viện có số sách tham khảo bằng $\frac{4}{7}$ số sách giáo khoa. Nếu thư viện nhập thêm mỗi loại 35 quyển nữa thì số sách tham khảo bằng $\frac{{33}}{{56}}$ số sách giáo khoa. Tính số sách giáo khoa ban đầu của thư viện.

Giải

Vì hiệu số quyển sách không thay đổi nên ta chọn hiệu số quyển sách làm đơn vị.

Ban đầu, số sách giáo khoa so với hiệu số quyển sách là: $\frac{7}{{7 – 4}} = \frac{7}{3}$ (hiệu số quyển sách)

Sau khi nhập thêm mỗi loại 35 quyển thì số sách giáo khoa so với hiệu số quyển sách là:

$\frac{{56}}{{56 – 33}} = \frac{{56}}{{23}}$ (hiệu số quyển sách)

Phân số chỉ 35 quyển sách là:

       $\frac{{56}}{{23}} – \frac{7}{3} = \frac{7}{{69}}$ (hiệu số quyển sách)

Sách giáo khoa hơn sách tham khảo số quyển là:

       $35:\frac{7}{{69}} = 345$ (quyển)

Số sách giáo khoa ban đầu là:

       345 : (7 – 4) x 7 = 805 (quyển)

                     Đáp số: 805 quyển

Loại 3: Một trong hai đại lượng không thay đổi

Ví dụ 1: Một lớp học có số học sinh nữ bằng $\frac{2}{3}$ số học sinh nam. Sang học kì 2, có thêm 5 em học sinh nữ chuyển vào, lúc này số học sinh nam bằng $\frac{6}{5}$ số học sinh nữ. hỏi ban đầu lớp đó có bao nhiêu học sinh nữ.

Giải

Vì số học sinh nam không thay đổi nên ta chọn số học sinh nam làm đơn vị.

Ban đầu, số học sinh nữ so với số học sinh nam là: $\frac{2}{3}$ (học sinh nam)

Sau khi có thêm 5 học sinh nữ thì số học sinh nữ so với số học sinh nam là: $\frac{5}{6}$ (học sinh nam)

Phân số chỉ 5 học sinh là:

       $\frac{5}{6} – \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$ (học sinh nam)

Số học sinh nam ban là:

        $5:\frac{1}{6} = 30$ (học sinh)

Số học sinh nữ ban đầu là:

       $30 \times \frac{2}{3} = 20$ (học sinh)

          Đáp số: 20 học sinh

Bài tập áp dụng: