Giải bài 6 trang 15 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \({\sin ^2}{605^0} + {\sin ^2}{1645^0} + {\cot ^2}{25^0} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{{65}^0}}}\);

b) \(\frac{{\sin {{530}^0}}}{{1 + \sin {{640}^0}}} = \frac{1}{{\sin {{10}^0}}} + \cot {10^0}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\sin {605^0} \) \(= \sin \left( {{{2.360}^0} – {{115}^0}} \right) \) \(= \sin \left( { – {{115}^0}} \right) \) \(=  – \sin \left( {{{180}^0} – {{65}^0}} \right) \) \(=  – \sin {65^0}\)

\(\sin {1645^0} \) \(= \sin \left( {{{4.360}^0} + {{180}^0} + {{25}^0}} \right) \) \(=  – \sin {25^0} \) \(=  – \sin \left( {{{90}^0} – {{65}^0}} \right) \) \(=  – \cos {65^0}\)

\(\cot {25^0} \) \(= \cot \left( {{{90}^0} – {{65}^0}} \right) \) \(= \tan {65^0}\)

Do đó, \({\sin ^2}{605^0} + {\sin ^2}{1645^0} + {\cot ^2}{25^0} \) \(= {\sin ^2}{65^0} + {\cos ^2}{65^0} + {\tan ^2}{65^0}\)

\( \) \(= 1 + {\tan ^2}{65^0} \) \(= \frac{1}{{{{\cos }^2}{{65}^0}}}\)

b) Ta có: \(\sin {530^0} \) \(= \sin \left( {{{3.180}^0} – {{10}^0}} \right) \) \(= \sin {10^0}\),

\(\sin {640^0} \) \(= \sin \left( {{{4.180}^0} – {{80}^0}} \right) \) \(=  – \sin {80^0} \) \(=  – \sin \left( {{{90}^0} – {{10}^0}} \right) \) \(=  – \cos {10^0}\)

Do đó, \(\frac{{\sin {{530}^0}}}{{1 + \sin {{640}^0}}} \) \(= \frac{{\sin {{10}^0}}}{{1 – \cos {{10}^0}}} \) \(= \frac{{{{\sin }^2}{{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 – \cos {{10}^0}} \right)}}\)

\( \) \(= \frac{{1 – {{\cos }^2}{{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 – \cos {{10}^0}} \right)}} \) \(= \frac{{\left( {1 – \cos {{10}^0}} \right)\left( {1 + \cos {{10}^0}} \right)}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 – \cos {{10}^0}} \right)}} \) \(= \frac{{1 + \cos {{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}}} \) \(= \frac{1}{{\sin {{10}^0}}} + \cot {10^0}\)