Giải bài 37 trang 55 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Đề bài

Cho ba số \(\frac{2}{{b – a}}\), \(\frac{1}{b}\), \(\frac{2}{{b – c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a\), \(b\), \(c\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Ta có \(\frac{2}{{b – a}}\), \(\frac{1}{b}\), \(\frac{2}{{b – c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

\( \Rightarrow \frac{2}{{b – c}} – \frac{1}{b} = \frac{1}{b} – \frac{2}{{b – a}} \Rightarrow \frac{2}{{b – c}} + \frac{2}{{b – a}} = \frac{2}{b} \Rightarrow \frac{1}{{b – c}} + \frac{1}{{b – a}} = \frac{1}{b}\)

\( \Rightarrow \frac{{b – a + b – c}}{{\left( {b – c} \right)\left( {b – a} \right)}} = \frac{1}{b} \Rightarrow \frac{{2b – a – c}}{{\left( {b – c} \right)\left( {b – a} \right)}} = \frac{1}{b} \Rightarrow b\left( {2b – a – c} \right) = \left( {b – c} \right)\left( {b – a} \right)\)

\(2{b^2} – ab – bc = {b^2} + ac – ab – bc \Rightarrow {b^2} = ac \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{c}{b}\)

Vậy ba số \(a\), \(b\), \(c\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Bài toán được chứng minh.