Giải bài 3 trang 34 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) \({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) – {\sin ^2}\left( {x – \frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x\);

b) \({\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x – y} \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x – y} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) \({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) – {\sin ^2}\left( {x – \frac{\pi }{8}} \right) \) \( = \left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) – \sin \left( {x – \frac{\pi }{8}} \right)} \right]\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) + \sin \left( {x – \frac{\pi }{8}} \right)} \right]\)

 \( = 2\sin \frac{\pi }{8}\cos x.2\sin x\cos \frac{\pi }{8} \) \( = 2\sin \frac{\pi }{4}\cos x\sin x \) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x\)

b) \({\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x – y} \right) \) \( = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x – y} \right)\)

 \( \Leftrightarrow 2\cos x\cos y\cos \left( {x – y} \right) – {\cos ^2}\left( {x – y} \right) \) \( = {\cos ^2}x – {\sin ^2}y\)

Ta có: \(2\cos x\cos y\cos \left( {x – y} \right) – {\cos ^2}\left( {x – y} \right) \) \( = \cos \left( {x – y} \right)\left[ {2\cos x\cos y – \cos \left( {x – y} \right)} \right]\)

 \( = \cos \left( {x – y} \right)\left( {\cos x\cos y – \sin x\sin y} \right) \) \( = \cos \left( {x – y} \right)\cos \left( {x + y} \right)\)

 \( = \frac{1}{2}\left( {\cos 2x + \cos 2y} \right) \) \( = \frac{1}{2}\left( {1 – 2{{\sin }^2}y + 2{{\cos }^2}x – 1} \right) \) \( = {\cos ^2}x – {\sin ^2}y\)

Vậy \({\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x – y} \right) \) \( = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x – y} \right)\)