Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 – Cánh diều

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a)    \({u_n} = \frac{{n – 3}}{{n + 2}}\)

b)    \({u_n} = \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\)

c)    \({u_n} = {\left( { – 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\)

Lời giải chi tiết

a)    Xét:

  \(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{n + 1 – 3}}{{n + 1 + 2}} – \frac{{n – 3}}{{n + 2}}\\ = \frac{{n – 2}}{{n + 3}} – \frac{{n – 3}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} – 4 – {n^2} + 9}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)  

=> Dãy số là dãy số tăng

b)    Xét:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} – \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{{2.2}^n}.n!.\left( {n + 1} \right)}} – \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} – \frac{{{3^n}.2\left( {n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}}\\ = \frac{{{3^n}\left( {3 – 2n – 2} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{{3^n}\left( { – 2n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} < 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

 => Dãy số là dãy số giảm

c)    Xét:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} – {u_n} = {\left( { – 1} \right)^{n + 1}}.\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) – {\left( { – 1} \right)^n}.\left( {{2^n} + 1} \right)\\ = {\left( { – 1} \right)^n}\left[ {\left( { – 1} \right).\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) – {2^n} – 1} \right]\\ = {\left( { – 1} \right)^n}\left( { – {2^{n + 1}} – 1 – {2^n} – 1} \right)\\ = {\left( { – 1} \right)^n}\left( { – {{3.2}^n} – 2} \right)\end{array}\)

=> Dãy số không tăng không giảm