Bài 5 trang 99 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt đáy, tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh rằng:

a) $SM \bot \left( {ABCD} \right)$;

b) $AD \bot \left( {SAB} \right)$;

c) $\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.

Lời giải chi tiết

a, Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$, có $M$ là trung điểm của $AB$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SM \bot AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right\} \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)$

b) $ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AB \bot A{\rm{D}}$

$SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot A{\rm{D}}$

$\Rightarrow A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right)$

c) $A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow A{\rm{D}} \bot SB$

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$$\Rightarrow SA \bot SB$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)$

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$, có $M$ là trung điểm của $AB$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SM \bot AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right\} \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)$

b) $ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AB \bot A{\rm{D}}$

$SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot A{\rm{D}}$

$\Rightarrow A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right)$

c) $A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow A{\rm{D}} \bot SB$

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$$\Rightarrow SA \bot SB$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)$