Bài 20 trang 143 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A, B sao cho $\widehat {OAO’} = {90^o}$ và

OO’ = 2R. Tính theo R diện tích phần chung của hai đường tròn.

Lời giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của OO’ $\Rightarrow OM = R \Rightarrow M$ thuộc $\left( {O;R} \right)$, $H = AB \cap OO’$.

Xét tam giác vuông OAO’ có: AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền $\Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}OO’ = OM = O’M$.

$\Rightarrow OA = OM = AM \Rightarrow \Delta OAM$ đều $\Rightarrow \widehat {AOM} = {60^0}$.

Xét tam giác vuông OAO’ có: $\widehat {AOM} + \widehat {AO’M} = {90^0}$ (hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông) $\Rightarrow \widehat {AO’M} = {90^0} – {60^0} = {30^0}$.

Do OO’ là trung trực của AB $\Rightarrow A$ và B đối xứng nhau qua OO’.

$\Rightarrow \widehat {AOA’} = {120^0}$ và $\widehat {AO’B} = {60^0}$  (tính chất đối xứng).

Xét đường tròn (O) có ${S_{qOAB}} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}.120}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3}$

Xét tam giác vuông OAH có: $OH = OA.\cos {60^0} = \dfrac{R}{2};$

$\,\,AH = OA.\sin {60^0} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}$ $\Rightarrow AB = R\sqrt 3$.

$\Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OH.AB$$\,= \dfrac{1}{2}.\dfrac{R}{2}.R\sqrt 3  = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}$.

$\Rightarrow$ Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB của đường tròn (O;R) là ${S_1} = {S_{qOAB}} – {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3} – \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Xét đường tròn (O’;R’) ta có: $O’A = OA.\tan {60^0} = R\sqrt 3$.

${S_{qO’AB}} = \dfrac{{\pi R{‘^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi .{{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}.60}}{{360}}$$\,= \dfrac{{\pi {R^2}}}{2}$

Ta có: $O’H = OO’ – OH = 2R – \dfrac{R}{2} = \dfrac{{3R}}{2}$

$\Rightarrow {S_{\Delta O’AB}} = \dfrac{1}{2}O’H.AB$$\,= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3R}}{2}.R\sqrt 3  = \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}$

$\Rightarrow$ Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB của đường tròn (O’;R’) là ${S_2} = {S_{qO’AB}} – {S_{\Delta O’AB}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} – \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Vậy diện tích phần chung của hai đường tròn là

$S = {S_1} + {S_2}$$\, = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3} – \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4} + \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} – \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}$$\,= \dfrac{{5\pi {R^2}}}{6} – {R^2}\sqrt 3  = \left( {\dfrac{{5\pi }}{6} – \sqrt 3 } \right){R^2}$

 Sachgiaihay.com