Giải bài tập 1.5 trang 7 SGK Toán 9 tập 1 – Cùng khám phá

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a. \(\frac{1}{{x – 7}} + 4 = \frac{{x + 1}}{{7 – x}}\);

b. \(\frac{{x + 1}}{{x – 1}} – \frac{{x – 1}}{{x + 1}} = \frac{{3x – 2}}{{x_{}^2 – 1}}\);

c. \(\frac{3}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right)}}\).

Lời giải chi tiết

a. \(\frac{1}{{x – 7}} + 4 = \frac{{x + 1}}{{7 – x}}\)

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 7\).

Quy đồng hai vế và bỏ mẫu, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{x – 7}} + \frac{{4\left( {x – 7} \right)}}{{x – 7}} =  – \frac{{x + 1}}{{x – 7}}\\1 + 4x – 28 + x + 1 = 0\\5x – 26 = 0\\x = \frac{{26}}{5}\end{array}\)

Ta thấy \(x = \frac{{26}}{5}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{26}}{5}\).

b. \(\frac{{x + 1}}{{x – 1}} – \frac{{x – 1}}{{x + 1}} = \frac{{3x – 2}}{{x_{}^2 – 1}}\)

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 1\) và \(x \ne  – 1\).

Quy đồng hai vế và bỏ mẫu, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x_{}^2 – 1}} – \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{x_{}^2 – 1}} = \frac{{3x – 2}}{{x_{}^2 – 1}}\\x_{}^2 + 2x + 1 – \left( {x_{}^2 – 2x + 1} \right) = 3x – 2\\x_{}^2 + 2x + 1 – x_{}^2 + 2x – 1 – 3x + 2 = 0\\x =  – 2\end{array}\)

Ta thấy \(x =  – 2\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x =  – 2\).

c. \(\frac{3}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right)}}\)

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 2,x \ne 3\) và \(x \ne 4\).

Quy đồng hai vế và bỏ mẫu, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{3\left( {x – 4} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right)}} + \frac{{2\left( {x – 3} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right)}} = \frac{{x – 2}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right)}}\\3x – 12 + 2x – 6 = x – 2\\5x – x = 12 + 6 – 2\\4x = 10\\x = \frac{5}{2}\end{array}\)

Ta thấy \(x = \frac{5}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = \frac{5}{2}\).