Giải bài tập 1.21 trang 24 SGK Toán 9 tập 1 – Cùng khám phá

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{{2x – 1}}{{x – 5}} + 1 = \frac{1}{{x – 5}}\).

b) \(2x – \frac{{2{x^2}}}{{x + 9}} = \frac{{4x}}{{x + 9}} + \frac{5}{9}\).

c) \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{x – 4}}{{x – 1}} = 2\).

d) \(\frac{{3x – 2}}{{x + 5}} = \frac{{6x + 1}}{{2x – 3}}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\frac{{2x – 1}}{{x – 5}} + 1 = \frac{1}{{x – 5}}\).        (1)

Điều kiện xác định của phương trình \(x \ne 5\).

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình ta được:

\(\frac{{2x – 1}}{{x – 5}} + \frac{{x – 5}}{{x – 5}} = \frac{1}{{x – 5}}\).

Sau khi bỏ mẫu, ta được phương trình:

\(2x – 1 + x – 5 = 1\).      (1a)

Giải phương trình (1a):

\(\begin{array}{l}3x – 6 = 1\\3x = 7\\x = \frac{7}{3}.\end{array}\)

Ta thấy \(x = \frac{7}{3}\) thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{7}{3}\).

b) \(2x – \frac{{2{x^2}}}{{x + 9}} = \frac{{4x}}{{x + 9}} + \frac{5}{9}\).          (2)

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne  – 9\).

Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{18x\left( {x + 9} \right)}}{{9\left( {x + 9} \right)}} – \frac{{18{x^2}}}{{9\left( {x + 9} \right)}} = \frac{{36x}}{{9\left( {x + 9} \right)}} + \frac{{5\left( {x + 9} \right)}}{{9\left( {x + 9} \right)}}\\18{x^2} + 162x – 18{x^2} = 36x + 5x + 45\\162x – 36x – 5x = 45\\121x = 45\\x = \frac{{45}}{{121}}.\end{array}\)

Ta thấy \(x = \frac{{45}}{{121}}\) thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (2).

Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{45}}{{121}}\).

c) \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{x – 4}}{{x – 1}} = 2\).                 (3)

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne  – 1\) và \(x \ne 1\).

Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} + \frac{{\left( {x – 4} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}\\{x^2} + 2x – 3 + {x^2} – 3x – 4 = 2{x^2} – 2\\ – x = 5\\x =  – 5.\end{array}\)

Ta thấy \(x =  – 5\) thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất \(x =  – 5\).

d) \(\frac{{3x – 2}}{{x + 5}} = \frac{{6x + 1}}{{2x – 3}}\).                   (4)

Điều kiện xác định của phương trình \(x \ne  – 5\) và \(x \ne \frac{3}{2}\).

Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{\left( {3x – 2} \right)\left( {2x – 3} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {2x – 3} \right)}} = \frac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {2x – 3} \right)}}\\6{x^2} – 9x – 4x + 6 = 6{x^2} + 30x + x + 5\\ – 13x – 31x =  – 1\\ – 44x =  – 1\\x = \frac{1}{{44}}.\end{array}\)

Ta thấy \(x = \frac{1}{{44}}\) thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (4).

Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{{44}}\).