Giải bài 35 trang 109 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng

Đề bài

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo $AC$ , $BF$ lần lượt lấy các điểm $M$ , $N$ sao cho $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}$ . Qua $M$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AD$ tại $M’$ , qua $N$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AF$ tại $N’$ .

a) Chứng minh rằng $\left( {MNN’} \right)\parallel \left( {CDE} \right)$ .

b) Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $\left( {AFD} \right)$ . Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt đường thẳng $EF$ tại $I$ . Tính $\frac{{FI}}{{FE}}$ , biết $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{3}$ .

Phương pháp giải – Xem chi tiết

a) Chỉ ra rằng $MM’\parallel NN’$ , từ đó suy ra 4 điểm $M$ , $M’$ , $N$ , $N’$ đồng phẳng. Tương tự 4 điểm $C$ , $D$ , $E$ , $F$ cũng đồng phẳng.

Chứng minh rằng $NN’\parallel CD$ (do cùng song song với $AB$ ) để suy ra $NN’\parallel \left( {CDE} \right)$ . Tiếp theo, chỉ ra rằng $M’N’\parallel FD$ để suy ra $M’N’\parallel \left( {CDE} \right)$ , rồi suy ra điều phải chứng minh.

b) Sử dụng định lí Thales: Đường thẳng $AC$ cắt ba mặt phẳng $\left( {ADF} \right)$ , $\left( P \right)$ , $\left( {BCE} \right)$ lần lượt tại $A$ , $M$ , $C$ . Đường thẳng $FE$ cắt ba mặt phẳng $\left( {ADF} \right)$ , $\left( P \right)$ , $\left( {BCE} \right)$ lần lượt tại $F$ , $I$ , $E$ . Suy ra $\frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{MC}}{{IE}} = \frac{{CA}}{{EF}}$ , từ đó tính được tỉ số $\frac{{FI}}{{FE}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có $MM’\parallel AB$ , $NN’\parallel AB \Rightarrow MM’\parallel NN’$ . Suy ra 4 điểm $M$ , $M’$ , $N$ , $N’$ đồng phẳng. Chứng minh tương tự ta cũng có 4 điểm $C$ , $D$ , $E$ , $F$ đồng phẳng.

Mặt khác, ta có $MM’\parallel AB$ , $AB\parallel CD$ nên $MM’\parallel CD$ .

Do $CD \subset \left( {CDFE} \right)$ nên ta kết luận rằng $MM’\parallel \left( {CDFE} \right)$ .

Hơn nữa, do $MM’\parallel AB$ , nên theo định lí Thales ta có $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AM’}}{{AD}}$ .

Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{AN’}}{{AF}}$ .

Theo đề bài, vì $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}$ , ta suy ra $\frac{{AM’}}{{AD}} = \frac{{AN’}}{{AF}}$ , tức là $M’N’\parallel FD$ .

Do $FD \subset \left( {CDFE} \right)$ nên ta kết luận rằng $M’N’\parallel \left( {CDFE} \right)$ .

Vì $MM’\parallel \left( {CDFE} \right)$ , $M’N’\parallel \left( {CDFE} \right)$ , $MM’ \cap M’N’ = \left\{ {M’} \right\}$ , nên ta có $\left( {MNN’M’} \right)\parallel \left( {CDFE} \right)$ , tức là $\left( {MNN’} \right)\parallel \left( {CDE} \right)$ . Bài toán được chứng minh.

b) Ta có $AD\parallel BE$ , $BC \subset \left( {BCE} \right)$ nên $AD\parallel \left( {BCE} \right)$ . Tương tự ta cũng có $DF\parallel \left( {BCE} \right)$ . Vậy $\left( {ADF} \right)\parallel \left( {BCE} \right)$

Theo đề bài, vì $\left( P \right)\parallel \left( {AFD} \right)$ và $M \in \left( P \right)$ , nên ba mặt phẳng $\left( {ADF} \right)$ , $\left( P \right)$ và $\left( {BCE} \right)$ đôi một phân biệt, và chúng cũng đôi một song song.

Đường thẳng $AC$ cắt ba mặt phẳng $\left( {ADF} \right)$ , $\left( P \right)$ , $\left( {BCE} \right)$ lần lượt tại $A$ , $M$ , $C$ . Đường thẳng $FE$ cắt ba mặt phẳng $\left( {ADF} \right)$ , $\left( P \right)$ , $\left( {BCE} \right)$ lần lượt tại $F$ , $I$ , $E$ . Áp dụng định lí Thales, ta suy ra $\frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{MC}}{{IE}} = \frac{{CA}}{{EF}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{CA}}{{EF}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{FI}}{{FE}}$ .