Giải bài 2.16 trang 26 sách bài tập toán 8 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) \(\left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} – 6x + 9} \right) – \left( {2x – 3} \right)\left( {4{x^2} + 6x + 9} \right)\);

b) \(\left( {2x – 1} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 1} \right) – 8\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2x + 4} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} – 6x + 9} \right) – \left( {2x – 3} \right)\left( {4{x^2} + 6x + 9} \right)\)

\( = \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} – 2x.3 + {3^2}} \right] – \left( {2x – 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.3 + {3^2}} \right]\)

\( = {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} – \left[ {{{\left( {2x} \right)}^3} – {3^3}} \right] = 8{x^3} + 27 – \left( {8{x^3} – 27} \right)\)

\( = 8{x^3} + 27 – 8{x^3} + 27 = 54\).

Vậy đa thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Ta có

\(\left( {2x – 1} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 1} \right) – 8\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2x + 4} \right)\)

\( = \left( {2x – 1} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.1 + {1^2}} \right] – 8\left( {x + 2} \right)\left[ {{x^2} – 2x. + {2^2}} \right]\)

\( = {\left( {2x} \right)^3} – {1^3} – 8\left( {{x^3} + {2^3}} \right) = 8{x^3} – 1 – 8{x^3} – 64 =  – 65\).

Vậy đa thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.