Bài 6 trang 94 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c. Gọi S là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, chứng minh công thức $S = \dfrac{{abc}}{{4R}}$ .

Lời giải chi tiết

Đặt $AB = c;\,\,AC = b;\,\,BC = a$. Vẽ đường kính AD và $AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)$.

Ta có $\widehat {ACD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow \widehat {ACD} = {90^0}$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ADC$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = {90^0}$;

$\widehat {ABH} = \widehat {ADC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC);

$\Rightarrow \Delta ABH \sim \Delta ADC\,\,\left( {g.g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AD}}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{AD}} = \dfrac{{bc}}{{2R}}$

Khi đó ta có: ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{bc}}{{2R}}.a = \dfrac{{abc}}{{4R}}$ (đpcm).

 Sachgiaihay.com