Bài 17 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Gọi M là giao điểm của một trong hai tiếp tuyến chung ngoài BC $\left( {B \in \left( O \right),C \in \left( {O’} \right)} \right)$ và tiếp tuyến chung trong A. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ tại M.

Lời giải chi tiết

Gọi $I$ là trung điểm của $OO’ \Rightarrow I$ là tâm đường tròn đường kính $OO’$.

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: $\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\MA = MC\end{array} \right. \Rightarrow MB = MC \Rightarrow M$ là trung điểm của $BC$.

Vì $BC$ là tiếp tuyến chung ngoài của $\left( O \right)$ và $\left( {O’} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}OB \bot BC\\O’C \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OB//O’C \Rightarrow$ Tứ giác $OBCO’$ là hình thang.

Xét hình thang $OBCO’$ có:

$I$ là trung điểm của $OO’$ (cách dựng)

$M$ là trung điểm của $BC\,\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow IM$ là đường trung bình của hình thang $OBCO’ \Rightarrow IM//OB//O’C$.

Mà $OB \bot BC \Rightarrow IM \bot BC$ tại $M$ (1).

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$MO$ là tia phân giác của $\angle AMB$ ;

$MO’$ là tia phân giác của $\angle AMC$.

Mà $\angle AMB$ và $\angle AMC$ là 2 góc kề bù $\Rightarrow MO \bot MO’ \Rightarrow \angle OMO’ = {90^0} \Rightarrow M$ thuộc đường tròn đường kính $OO’$  (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow BC$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $OO’$.

 Sachgiaihay.com