Giải bài 5.2 trang 78 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – n – 2} \right);\)     

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {2 + {n^2} – \sqrt {{n^4} + 1} } \right);\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} – n + 2}  + n} \right);\)                     

d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {3n – \sqrt {4{n^2} + 1} } \right).\)

Lời giải chi tiết

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – n – 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{ – 2n – 4}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{ – 2 – \frac{4}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}}  + 1 + \frac{2}{n}}} =  – 1\)        

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {2 + {n^2} – \sqrt {{n^4} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{4{n^2} + 3}}{{2 + {n^2} + \sqrt {{n^4} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{4 + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{{{n^2}}} + 1 + \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^4}}}} }} = 2\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} – n + 2}  + n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } n\left( {\sqrt {1 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}  + 1} \right) =  + \infty \)            

d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {3n – \sqrt {4{n^2} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } n\left( {3 – \sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right) =  + \infty \)