Giải bài 5.17 trang 83 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x}  – \sqrt {{x^2} – 1}  – 2m$ với m là tham số. Biết $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = 0$, tìm giá trị của m.

Lời giải chi tiết

Ta có: $g\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + \sqrt {{x^2} – 1} }} – 2m = \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{x}}  + \sqrt {1 – \frac{1}{{{x^2}}}} }} – 2m$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{x}}  + \sqrt {1 – \frac{1}{{{x^2}}}} }} – 2m = 1 – 2m$

Để $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = 0$ thì $1 – 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$