Giải bài 11 trang 46 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau:

a) ${u_n} = 2n + 3$                                           

b) ${u_n} = {3^n} – n$

c) ${u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}$                                                  

d) ${u_n} = \sin n$

Lời giải chi tiết

a) Xét hiệu:

$H = {u_{n + 1}} – {u_n} = \left[ {2\left( {n + 1} \right) + 3} \right] – \left( {2n + 3} \right) = \left( {2n + 5} \right) – \left( {2n + 3} \right) = 2 > 0$

Do đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 2n + 3$ là dãy số tăng.

b) Xét hiệu:

$H = {u_{n + 1}} – {u_n} = \left[ {{3^{n + 1}} – \left( {n + 1} \right)} \right] – \left( {{3^n} – n} \right) = \left( {{3^{n + 1}} – {3^n}} \right) – \left( {n + 1} \right) + n$

$= {3^n}\left( {3 – 1} \right) – 1 = {2.3^n} – 1$.

Ta thấy ${2.3^n} – 1 \ge {2.3^1} – 1 = 4 > 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, nên $H > 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Do đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {3^n} – n$ là dãy số tăng.

c) Ta nhận thấy với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ thì ${u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}} > 0$.

Xét thương $T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}:\frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}} = \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}.\frac{{{2^n}}}{{\sqrt n }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{n + 1}}{n}}  = \sqrt {\frac{{n + 1}}{{4n}}}$.

Ta thấy $3n – 1 > 0 \Rightarrow 4n – 1 > n \Rightarrow 4n > n + 1 \Rightarrow \frac{{n + 1}}{{4n}} < 1 \Rightarrow \sqrt {\frac{{n + 1}}{{4n}}}  < 1$, suy ra $T < 1$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}$ là dãy số giảm.

d) Xét hiệu:

 $H = {u_{n + 1}} – {u_n} = \sin \left( {n + 1} \right) – \sin n = 2\cos \frac{{n + 1 + n}}{2}\sin \frac{{n + 1 – n}}{2} = 2\cos \frac{{2n + 1}}{2}\sin \frac{1}{2}$

Với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, ta không thể xác định dấu của $\cos \frac{{2n + 1}}{2}$, tức là ta không thể kết luận $H > 0$ hay $H < 0$.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \sin n$ không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.