Bài 7 trang 134 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác đều $ABC$, $O$ là trung điểm của $BC$. Trên các cạnh $AB, AC$ lần lượt lấy các điểm di động $D$ và $E$ sao cho góc $\widehat {DOE} = {60^0}$.

a) Chứng minh tích $BD.CE$ không đổi.

b) Chứng minh $ΔBOD$ đồng dạng $ΔOED$. Từ đó suy ra tia $DO$ là tia phân giác của góc $BDE$. 

c) Vẽ đường tròn tâm $O$ tiếp xúc với $AB$. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với $DE$.

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh tích $BD.CE$ không đổi.

Ta có $\widehat {DOC}$ là góc ngoài của $∆ BDO$ nên: $\widehat {DOC} = \widehat B + {\widehat D_1}$

hay $\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = \widehat B + \widehat {{D_1}} \Leftrightarrow {60^0} + \widehat {{O_2}} = {60^0} + \widehat {{D_1}}$

$\Leftrightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}$ 

Xét hai tam giác: $∆BOD$ và $∆CEO$, ta có: $\widehat B = \widehat C = {60^0}$ (gt)  và $\widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}$ (cmt) 

$⇒ ∆BOD \backsim ∆CEO$ (g.g)

$\displaystyle \Rightarrow {{B{\rm{D}}} \over {BO}} = {{CO} \over {CE}}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) $\Rightarrow B{\rm{D}}.CE = BO.CO$

hay $\displaystyle B{\rm{D}}.CE = {{BC} \over 2}.{{BC} \over 2} = {{B{C^2}} \over 4}$ (không đổi)

Vậy $\displaystyle B{\rm{D}}.CE = {{B{C^2}} \over 4}$ không đổi

b) Chứng minh $ΔBOD \backsim ΔOED$

Từ câu (a) ta có: $∆BOD \backsim ∆CEO$

$\displaystyle \Rightarrow {{O{\rm{D}}} \over {OE}} = {{B{\rm{D}}} \over {OC}}$ ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mà $OC = OB$) nên $\displaystyle{{O{\rm{D}}} \over {OE}} = {{B{\rm{D}}} \over {OB}}$

Mà $\widehat B = \widehat {DOE} = {60^0}$ 

Vậy $ΔBOD \backsim ΔOED$ (c.g.c) $\Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}O} = \widehat {O{\rm{D}}E}$  ( 2 góc tương ứng)

hay $DO$ là tia phân giác của góc $BDE$

c) Vẽ $OK \bot DE$ và gọi $I$ là tiếp điểm của $(O)$ với $AB$, khi đó $OI \bot AB$. Xét hai tam giác vuông: $IDO$ và $KDO$, ta có:

$DO$ chung 

$\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}$ (do $DO$ là tia phân giác của góc $BDE$)

Vậy $ΔIDO= ΔKDO$ ( cạnh huyền – góc nhọn) $⇒ OI = OK$ (các cạnh tương ứng).

Điều này chứng tỏ rằng $OK$ là bán kính của $(O)$ và $OK \bot DE$ nên $K$ là tiếp điểm của $DE$ với $(O)$ hay $DE$ tiếp xúc với đường tròn $(O).$