Giải bài 9.3 trang 57 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2},}&{x \ge 0}\\{1 – 2x\,\,\,\,,}&{x < 0}\end{array}} \right.\). Tính \(f’\left( 0 \right)\).

Lời giải chi tiết

Tìm giới hạn bên phải và bên trái tại điểm \(x = 0\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 1\) và

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{(x – 1)}^2} – 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left( {x – 1 – 1} \right)\left( {x – 1 + 1} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x – 2} \right) = 0 – 2 =  – 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{(1 – 2x) – 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( { – 2} \right) =  – 2\)

Vậy \(f’\left( 0 \right) =  – 2\).