Giải bài 9.2 trang 57 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {2x – 1} \right)^2}\). Tính \(f’\left( 0 \right)\) và \(f’\left( 1 \right)\).

Lời giải chi tiết

 \(f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x{{(2x – 1)}^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {{{(2x – 1)}^2}} \right] = {( – 1)^2} = 1\)

Để tính \(f’\left( 1 \right)\), ta phân tích:

\(\begin{array}{*{20}{r}}{f\left( x \right) – f\left( 1 \right)}&{\; = x{{(2x – 1)}^2} – 1 = \left( {x – 1} \right){{(2x – 1)}^2} + {{(2x – 1)}^2} – 1}\\{}&{}\end{array}\)

\( = \left( {x – 1} \right){(2x – 1)^2} + 4x\left( {x – 1} \right).\)

Khi đó, \(f’\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) – f\left( 1 \right)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {{{\left( {2x – 1} \right)}^2} + 4x} \right] = 5\)