Giải bài 7.16 trang 47 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC, với A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Lời giải chi tiết

Giả sử  tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {6 – a} \right)^2} + {\left( { – 2 – b} \right)^2} = {\left( {4 – a} \right)^2} + {\left( {2 – b} \right)^2}\\{\left( {4 – a} \right)^2} + {\left( {2 – b} \right)^2} = {\left( {5 – a} \right)^2} + {\left( { – 5 – b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  – 2\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( {1; – 2} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 – 6} \right)}^2} + {{\left( { – 2 + 2} \right)}^2}}  = 5\)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\)

Cách 2:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C):\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) \(\left( {{a^2} + {b^2} – c > 0} \right)\)

\(A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5)\) thuộc (C) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{36 + 4 + 12a – 4b + c = 0}\\
{16 + 4 + 8a + 4b + c = 0}\\
{25 + 25 + 10a – 10b + c = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{12a – 4b + c = – 40}\\
{8a + 4b + c = – 20}\\
{10a – 10b + c = – 50}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 1}\\
{b = 2} \,\rm{(thỏa mãn)}\\
{c = – 20}
\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là: \({x^2} + {y^2} – 2x + 4y -20 = 0\) hay \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\)