Giải bài 44 trang 56 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\), \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n – 1}} + 1\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), \(n \ge 2\). Đặt \({v_n} = {u_n} – \frac{3}{2}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

a)    Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b)    Tìm công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\).

c)     Tính tổng \(S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + … + {u_{10}}\).

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\left( {{v_n}} \right)\), ta có \(\frac{{{v_n}}}{{{v_{n – 1}}}} = \frac{{{u_n} – \frac{3}{2}}}{{{u_{n – 1}} – \frac{3}{2}}} = \frac{{\frac{1}{3}{u_{n – 1}} + 1 – \frac{3}{2}}}{{{u_{n – 1}} – \frac{3}{2}}} = \frac{{\frac{1}{3}{u_{n – 1}} – \frac{1}{2}}}{{{u_{n – 1}} – \frac{3}{2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\left( {{u_{n – 1}} – \frac{3}{2}} \right)}}{{{u_{n – 1}} – \frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}\).

Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{3}\) và số hạng đầu \({v_1} = {u_1} – \frac{3}{2} = 1 – \frac{3}{2} =  – \frac{1}{2}\).

b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, ta có \({v_n} = {v_1}.{q^{n – 1}} = \frac{{ – 1}}{2}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n – 1}} = \frac{{ – 1}}{{{{2.3}^{n – 1}}}}\).

Suy ra \({u_n} = {v_n} + \frac{3}{2} = \frac{{ – 1}}{{{{2.3}^{n – 1}}}} + \frac{3}{2} = \frac{{{3^n} – 1}}{{{{2.3}^{n – 1}}}}\).

c) Ta có:

\(S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + … + {u_{10}} = \left( {{u_1} – \frac{3}{2}} \right) + \left( {{u_2} – \frac{3}{2}} \right) + … + \left( {{u_{10}} – \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2}.10\)

\( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + … + {v_{10}} + 5 = {v_1}\frac{{1 – {q^{10}}}}{{1 – q}} + 5 = \frac{{ – 1}}{2}.\frac{{1 – {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}}}{{1 – \frac{1}{3}}} + 5 = \frac{{280483}}{{19683}}\).