Giải bài 39 trang 92 SBT toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính:

a)  \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right|\)          

b) \(\left| {\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {AC} } \right|\)           

c) \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right|\)

Lời giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \), \(GA = GB = GC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

a) Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\)

b) Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = BC = a\)

c) Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {GB}  – \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC}  – \overrightarrow {GA} } \right)} \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) – 2\overrightarrow {GA} } \right|\) (1)

Lại có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  =  – \overrightarrow {GA} \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| { – \overrightarrow {GA}  – 2\overrightarrow {GA} } \right| = \left| { – 3\overrightarrow {GA} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {GA} } \right| = 3GA = 3.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = a\sqrt 3 \)