Giải bài 27 trang 51 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} =  – 2\), \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{1 – {u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

a)    Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b)    Tìm công thức của \({v_n}\), \({u_n}\) tính theo \(n\).

c)     Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + … + \frac{1}{{{u_{20}}}}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{{u_n}}}{{1 – {u_n}}}}} = 1 + \frac{{1 – {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{{{u_n} + 1 – {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}}\)

\( \Rightarrow {v_{n + 1}} – {v_n} = \frac{1}{{{u_n}}} – \left( {1 + \frac{1}{{{u_n}}}} \right) =  – 1\).

Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d =  – 1\).

Số hạng đầu của dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là \({v_1} = 1 + \frac{1}{{{u_1}}} = 1 + \frac{1}{{ – 2}} = \frac{1}{2}\)

b) Vì \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = \frac{1}{2}\) và công sai \(d =  – 1\), nên ta có \({v_n} = {v_1} + \left( {n – 1} \right)d = \frac{1}{2} + \left( {n – 1} \right)\left( { – 1} \right) = \frac{1}{2} + 1 – n = \frac{{3 – 2n}}{2}\).

Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(\frac{{3 – 2n}}{2} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{{1 – 2n}}{2} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{1 – 2n}}\)

c) Ta có \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên:

\(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + … + \frac{1}{{{u_{20}}}} = \left( {{v_1} – 1} \right) + \left( {{v_2} – 1} \right) + \left( {{v_3} – 1} \right) + … + \left( {{v_{20}} – 1} \right)\)

\( = \left( {{v_1} + {v_2} + {v_3} + … + {v_{20}}} \right) – 20 = \frac{{\left( {2{v_1} + 19d} \right).20}}{2} – 20 = 10\left( {2.\frac{1}{2} – 19} \right) – 2 =  – 200\)