Đề kiểm tra 45 phút – Đề số 4- Chương 1 – Hình học 9

Đề bài

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A có $AB = AC = 1\;cm$ và góc $A = 2α (0 < α < 45^o)$, các đường cao AD và BE.

a. Chứng minh rằng : ∆ADC và ∆BEC đồng dạng

b. Chứng minh : $\sin A = 2\sinα.\cosα$

Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại A và $AC = 21cm$, $\cos \widehat C = {3 \over 5}$

a. Tính $\tan B, \cot B$.

b. Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính $DB, DC$

LG bài 1

Phương pháp giải:

Sử dụng tam giác đồng dạng và quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Lời giải chi tiết:

a. Xét tam giác ADC và tam giác BEC có góc C chung và $\widehat D = \widehat E = {90^0}$ nên ∆ADC đồng dạng ∆BEC (g.g) 

b. ∆ABC cân tại A nên đường cao AD đồng thời là đường phân giác $\widehat {BAD} = \widehat {CAD} = {{\widehat A} \over 2} = \alpha$

Xét tam giác vuông ADB có:

$BD = AB.\sin \widehat {BAD} = 1.\sin \alpha  = \sin \alpha$

Mặt khác ∆ABC cân nên đường cao AD cũng đồng thời là đường trung tuyến hay BC = 2BD = 2sinα

Xét tam giác vuông CEB có $\widehat {CBE} = \widehat {CAD} = \alpha$ (cùng phụ với góc C)

Ta có: $BE = BC.\cos \widehat {CBE} = BC.\cos \alpha$$\;= 2\sin \alpha .\cos \alpha$ (1)

Xét tam giác vuông AEB, ta có: $\sin A = {{BE} \over {AB}} = {{BE} \over 1} = BE$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ sinA = 2sinα.cosα

LG bài 2

Phương pháp giải:

Sử dụng: 

+) ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$, $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$

+) Định lý Pytago và tính chất đường phân giác của tam giác.

Lời giải chi tiết:

a. Ta có:

$\eqalign{  & {\sin ^2}C + {\cos ^2}C = 1  \cr  &  \Rightarrow \sin C = \sqrt {1 – {{\cos }^2}C} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {1 – {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^2}}  = {4 \over 5} \cr}$

Do đó: 

$\eqalign{  & \cos B = {4 \over 5}  \cr  & \cos C = {3 \over 5} \cr}$

$\Rightarrow \sin B = {3 \over 5}$ (vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau)

Vậy $\tan B = {{\sin B} \over {\cos B}} = {3 \over 5}:{4 \over 5} = {3 \over 4}$$\Rightarrow \cot B = {4 \over 3}$

Cách khác tính tanB (gần gũi hơn) :

$\eqalign{  & \cos C = {{AC} \over {BC}}\,hay\,{3 \over 5} = {{21} \over {BC}}\cr& \Rightarrow BC = {{21.5} \over 3} = 35  \cr  &  \Rightarrow AB = \sqrt {B{C^2} – A{C^2}}  \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {{{35}^2} – {{21}^2}}  = 28 \cr}$

Do đó: $\tan B = {{AC} \over {AB}} = {{21} \over {28}} = {3 \over 4}$

b. Ta có: ∆ABC vuông tại A: 

$AB = AC.\tan C = AC.cotB$$\;= 21.{4 \over 3} = 28\,\left( {cm} \right)$

và $\,BC = {{AC} \over {\cos C}} = {{21} \over {{3 \over 5}}} = 35\,\left( {cm} \right)$

AD là phân giác của ∆ABC ta có:

${{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}} = {{28} \over {21}} = {4 \over 3}$

$\Rightarrow {{DB} \over 4} = {{DC} \over 3} = {{DB + DC} \over {4 + 3}}$$\;= {{BC} \over 7} = {{35} \over 7} = 5$

Vậy $DB = 5.4 = 20 (cm)$; $DC = 5.3 = 15 (cm)$.

 Sachgiaihay.com