Đề kiểm tra 15 phút – Đề số 3 – Bài 1 – Chương 2 – Hình học 9

Đề bài

Cho ∆ABC đều có cạnh bằng a, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. 

a. Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn. Hãy xác định tâm bán kính của đường tròn đó.

b. Chứng minh rằng điểm H nằm trong đường tròn và điểm A nằm ngoài đường tròn đi qua bốn điểm B, E, D, C.

Lời giải chi tiết

a. Gọi O là trung điểm của BC, các tam giác vuông BDC và BEC có OD, OE là các đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC nên

$\eqalign{  & OD = OE = {1 \over 2}BC  \cr  & hay\,OD = OE = OB = OC = {1 \over 2}a \cr}$

Vậy bốn điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn, tâm O là trung điểm của BC và bán kính bằng ${1 \over 2}BC = {1 \over 2}a$

b. ∆ABC đều nên trực tâm H cũng đồng thời là trọng tâm, AO là trung tuyến nên đồng thời là đường cao và A, H, O thẳng hàng.

Xét tam giác vuông AOB, ta có:

$AO = \sqrt {A{B^2} – O{B^2}}$ (định lí Pi-ta-go )

$= \sqrt {{a^2} – {{\left( {{a \over 2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4}}  = {{a\sqrt 3 } \over 2}$

Mặt khác, vì H là trọng tâm của ∆ABC nên:

$OH = {1 \over 3}AO = {1 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 6}$

Nhận thấy: ${{a\sqrt 3 } \over 6} < {a \over 2},$ do đó điểm H nằm trong đường tròn $\left( {O,{a \over 2}} \right);$

Và ${{a\sqrt 3 } \over 2} > {a \over 2},$ do đó điểm A nằm ngoài đường tròn $\left( {O;{a \over 2}} \right).$

Sachgiaihay.com