Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 – Cùng khám phá

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

a) \({\cos ^4}\alpha  – {\sin ^4}\alpha  = \cos 2\alpha ;\)

b) \(\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a – b} \right) = {\cos ^2}b – {\cos ^2}a;\)

c) \(\frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}} = \tan a.\)

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}{\cos ^4}\alpha  – {\sin ^4}\alpha  = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} – {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2}\\ = \left( {{{\cos }^2}\alpha  – {{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \right)\\ = \cos 2\alpha .1 = \cos 2\alpha \end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a – b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b – a + b} \right) – \cos \left( {a + b + a – b} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\cos 2b – \cos 2a} \right) = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}b – 1 – 2{{\cos }^2}a + 1} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}b – 2{{\cos }^2}a} \right) = {\cos ^2}b – {\cos ^2}a\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}} = \frac{{\sin a + 2\sin a\cos a}}{{1 + \cos a + 2{{\cos }^2}a – 1}}\\ = \frac{{\sin a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}{{\cos a + 2{{\cos }^2}a}} = \frac{{\sin a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}{{\cos a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}\\ = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \tan a\end{array}\)