Bài 7.4 trang 37 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Một bình nuôi cấy vi sinh vật được truyền nhiệt đến một nhiệt độ thích hợp. Biết rằng nhiệt độ của bình tại thời điểm t phút được tính bằng hàm số $f(t) = {t^3}$.

a, Tìm tốc độ thay đổi nhiệt độ của bình tại thời điểm t= 2 phút

b, Sau bao lâu thì nhiệt độ của bình đạt ${27^0}C$? Tìm tốc độ thay đổi nhiệt độ của bình tại thời điểm đó.

Lời giải chi tiết

a, Ta có: $f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{f(t) – f(2)}}{{t – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{{t^3} – 8}}{{t – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{(t – 2).({t^2} + 2t + 4)}}{{t – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} ({t^2} + 2t + 4) = 12$

b, Để nhiệt độ của bình đạt ${27^0}C$ thì: ${t^3} = 27 = {3^3} \Rightarrow t = 3$

Sau 3 phút thì nhiệt độ bình là ${27^0}C$

Ta có: $f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{f(t) – f(3)}}{{t – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{{t^3} – 27}}{{t – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{(t – 3).({t^2} + 2t + 4)}}{{t – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} ({t^2} + 3t + 9) = 27$