Giải bài 71 trang 32 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Đề bài

Cho \(\sin \left( {{{45}^o} – \alpha } \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).

a)    Chứng minh rằng \({\sin ^2}\left( {{{45}^o} – \alpha } \right) = \frac{{1 – \sin 2\alpha }}{2}\).

b)    Tính \(\sin 2\alpha \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({\sin ^2}\left( {{{45}^o} – \alpha } \right) = \frac{{1 – \cos \left[ {2\left( {{{45}^o} – \alpha } \right)} \right]}}{2} = \frac{{1 – \cos \left( {{{90}^o} – 2\alpha } \right)}}{2} = \frac{{1 – \sin 2\alpha }}{2}\)

Bài toán được chứng minh.

b) Theo câu a ta có:

\({\sin ^2}\left( {{{45}^o} – \alpha } \right) = \frac{{1 – \sin 2\alpha }}{2} \Rightarrow \sin 2\alpha  = 1 – 2{\sin ^2}\left( {{{45}^o} – \alpha } \right)\)

Do \(\sin \left( {{{45}^o} – \alpha } \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\) nên \(\sin 2\alpha  = 1 – 2{\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{3}{4}\)