Giải mục 1 trang 51, 52 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

HĐ1

Với hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ cho trước, lấy một điểm A vẽ các vectơ $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b$. Lấy điểm A’ khác A và cũng vẽ các vectơ $\overrightarrow {A’B’}  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {B’C’}  = \overrightarrow b$. Hỏi hai vectơ $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {A’C’}$ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Xét độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {A’C’}$ để suy ra mối quan hệ của chúng.

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a \;\;\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//\;a\\AB = a\end{array} \right.$ và $\overrightarrow {A’B’}  = \overrightarrow a \;\;\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A’B’\;//\;a\\A’B’ = a\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//\;A’B’\\AB = A’B’\end{array} \right.$

Tương tự, ta cũng suy ra $\left\{ \begin{array}{l}BC//\;B’C’\\BC = B’C’\end{array} \right.$

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta A’B’C’$(c-g-c)

$\left\{ \begin{array}{l}AC//\;A’C’\\AC = A’C’\end{array} \right.$

Dễ dàng suy ra  $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A’C’}$.

HĐ2

Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {AC}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vectơ $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$ bằng cách thay vectơ $\overrightarrow {AD}$ bởi vectơ bằng nó mà có điểm đầu là B.

Bước 2: So sánh với vectơ $\overrightarrow {AC}$

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình bình hành nên $\left\{ \begin{array}{l}AD//\;BC\\AD = BC\end{array} \right.$, hay $\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}$.

Do đó $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$.

HĐ3

a) Trong hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ $\overrightarrow a  + \overrightarrow b$và vectơ $\overrightarrow b  + \overrightarrow a$.

b) Trong hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ $\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c$và vectơ $\overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)$.

Phương pháp giải:

Nếu $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b$ thì $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b$ nên $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$

Mặt khác: $\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b ,\;\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow a$ nên $\overrightarrow b  + \overrightarrow a  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AC}$

Do đó $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a$.

b) Theo câu a) ta có $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow c$ nên $\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}$.

Mặt khác: $\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b ,\;\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow c$ nên $\overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}$

Và $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB}$ nên $\overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}$

Vậy $\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)$

Luyện tập 1

Cho hình thoi ABCD cới cạnh có độ dài bằng 1 và $\widehat {BAD} = {120^o}$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA} .$

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA}$ do hai vectơ $\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {BA}$ cùng hướng và $CD = BA$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CA} \\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA\end{array}$

Xét tam giác ABC, ta có:

$BA = BC$ và $\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\widehat {BAD} = {60^o}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ đều, hay $CA = BC = 1$

Vậy $\left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right| = 1.$

Dựa vào tính chất kết hợp, ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA}  = \left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {BA} \\ = \left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CA} .\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 1.\end{array}$