Giải bài 6.31 trang 28 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Xác định parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + 3$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $A(1;1)$ và $B( – 1;0)$.

b) $\left( P \right)$ đi qua điểm $M(1;2)$ và nhận đường thẳng $x = 1$ làm trục đối xứng.

c) $\left( P \right)$ có đỉnh là $I(1;4).$

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết, hai điểm $A(1;1)$ và $B( – 1;0)$ thuộc parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + 3$ nên ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + 3 = 1}\\{a – b + 3 = 0}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ – 5}}{2}}\\{b = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy hàm số cần tìm là: $y =  – \frac{5}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + 3.$

b) Parabol nhận $x = 1$ làm trục đối xứng nên $– \frac{b}{{2a}} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,b =  – 2a.$

Điểm $M(1;2)$ thuộc parabol nên $a + b + 3 = 2\,\, \Leftrightarrow \,\,a + b =  – 1.$

Do đó, ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  – 2a}\\{a + b =  – 1}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b =  – 2}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy hàm số cần tìm là: $y = {x^2} – 2x + 3$

c) Parabol có đỉnh $I(1;4)$ nên ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – \frac{b}{{2a}} = 1}\\{a + b + 3 = 4}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  – 2a}\\{a + b = 1}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,} \right.} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  – 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.$

Vậy hàm số cần tìm là: $y =  – {x^2} + 2x + 3.$