Giải bài 2.22 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\), ta có \({5^n} \ge {3^n} + {4^n}\)

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\), ta có \({5^n} \ge {3^n} + {4^n}\)

Lời giải chi tiết

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

test123

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 2\) ta có \({5^2} = {3^2} + {4^2}\)

Vậy BĐT đúng với \(n = 2\)

Giải sử BĐT đúng với \(n = k\) tức là ta có \({5^k} \ge {3^k} + {4^k}\)

Ta chứng minh BĐT đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({5^{k + 1}} \ge {3^{k + 1}} + {4^{k + 1}}\)

Thật vậy, ta có

\({3^{k + 1}} + {4^{k + 1}} = {3.3^k} + {4.4^k} \le 4.\left( {{3^k} + {4^k}} \right) \le {4.5^k} \le {5.5^k} = {5^{k + 1}}\)

Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE

Chuyên đề 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Bài 1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Bài 2. Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Bài tập cuối chuyên đề 1

Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học. Nhị thức Newton

Bài 3. Phương pháp quy nạp toán học
Bài 4. Nhị thức Newton
Bài tập cuối chuyên đề 2

Chuyên đề 3: Ba đường conic và ứng dụng

Bài 5. Elip
Bài 6. Hypebol
Bài 7. Parabol
Bài 8. Sự thống nhất giữa ba đường conic
Bài tập cuối chuyên đề 3