Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 9 – Chương 2 – Hình học 9

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi S là trung điểm của OA. Vẽ đường tròn tâm S đi qua A.

a. Chứng minh (O) và (S) tiếp xúc tại A.

b. Một đường thẳng đi qua A cắt (S) tại M và cắt (O) tại N (M, N khác A). Chứng minh : SM // ON

c. Chứng minh : OM // BN

d. Gọi I là trung điểm của ON, đường thẳng AI cắt BN tại K. Chứng minh: $BK = 2NK$.

Lời giải chi tiết

a. Ta có: $OS = OA – SA (d = R – R’)$

Vậy (O) và (S) tiếp xúc trong tại A.

b. ∆ASM cân ($SA = SM = R’$)

$\Rightarrow {\widehat M_1} = \widehat {MAS}$

Tương tự ∆AON cân

$\eqalign{  &  \Rightarrow {\widehat N_1} = \widehat {MAS}  \cr  &  \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat N_1} \cr}$

Do đó SM // ON (đồng vị ).

c. Dễ thấy $\widehat {AMO} = \widehat {ANB} = 90^\circ$ (góc chắn nửa đường tròn)

$⇒ OM // BN (⊥ AN)$

d. Kẻ OE // IK, ta có IK là đường trung bình của ∆ONE $⇒ K$ là trung điểm của NE hay $KN = KE.$

Mặt khác trong ∆AKB ta có: OE là đường trung bình nên E là trung điểm của KB hay $EK = EB$. Vậy $BK = 2NK.$

Cách khác : Gọi H là giao điểm của MO và AK, ta có: $∆OIH = ∆NIK$ (g.c.g)

$⇒ NK = OH$. Có O là trung điểm của AB, OH // BN (cmt)

$⇒$ OH là đường trung bình của ∆AKB

$\Rightarrow OH = {1 \over 2}KB$ hay $2OH = BK$, mà $OH = NK ⇒ 2NK = BK.$

Sachgiaihay.com