Câu 38 trang 68 SGK Hình học 11 Nâng cao

Chứng minh rẳng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó

Đề bài

Chứng minh rẳng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Áp dụng tính chất: “ Trong một hình bình hành, tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương bốn cạnh.”

Chứng minh:

Ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} – 2AB.BC\cos B\\B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} – 2AB.AD\cos A\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = A{B^2} + B{C^2} + 2AB.BC\cos B\end{array}\)

Vì \(AD = BC\) và \(\cos A =  – \cos B\) (hai góc bù nhau thì cos đối nhau)

\( \Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 2A{B^2} + 2B{C^2}\) \( = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right)\).

Lời giải chi tiết

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

test123

Đặt AB = a, BC = b, AA’ = c ( đó là 3 kích thước của hình hộp).

Trong hình bình hành ABC’D’ ta có:

\(AC'{^2} + BD{‘^2} = 2\left( {{a^2} + BC'{^2}} \right)\)  (1)

Trong hình bình hành A’B’CD ta có:

\(A'{C^2} + B'{D^2} = 2\left( {{a^2} + B'{C^2}} \right)\)  (2)

Cộng (1) và (2) ta được :

\(AC'{^2} + BD'{^2}+A'{C^2} + B'{D^2} \)\(= 2\left( {2{a^2} + BC{‘^2} + B'{C^2}} \right)\) (3)

Mặt khác trong hình bình hành BB’C’C ta có:

\(BC{‘^2} + B'{C^2} = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\)  (4)

Thay (4) vào (3) ta được :

\(AC'{^2} + BD'{^2} + A'{C^2} + B\,'{D^2}\)\( = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)  (đpcm).

Sachgiaihay.com

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH – TOÁN 11 NÂNG CAO

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1. Các hàm số lượng giác
Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản
Câu hỏi và bài tập ôn tập chương I
Bài tập trắc nghiệm khách quan – Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Toán 11 Nâng cao

CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

A. Tổ hợp
B. Xác suất
Câu hỏi và bài tập ôn tập chương II
Bài tập trắc nghiệm khách quan – Chương II. Tổ hợp và xác suất – Toán 11 Nâng cao

CHƯƠNG III: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
Bài 2. Dãy số
Bài 3. Cấp số cộng
Bài 4. Cấp số nhân
Câu hỏi và bài tập ôn tập chương III
Bài tập trắc nghiệm khách quan – Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân – Toán 11 Nâng cao

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN

A. Giới hạn của dãy số
B. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục
Câu hỏi và bài tập ôn tập chương IV
Bài tập trắc nghiệm khách quan – Chương IV. Giới hạn – Toán 11 Nâng cao

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM

Bài 1. Khái niệm đạo hàm
Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm
Bài 3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
Bài 4. Vi phân
Bài 5. Đạo hàm cấp cao
Câu hỏi và bài tập ôn tập chương V
Bài tập trắc nghiệm khách quan – Chương V. Đạo hàm – Toán 11 Nâng cao

ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH – TOÁN 11 NÂNG CAO

HÌNH HỌC- TOÁN 11 NÂNG CAO

CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

Bài 1. Mở đầu về phép biến hình
Bài 2. Phép tịnh tiến và phép dời hình
Bài 3. Phép đối xứng trục
Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm
Bài 5. Hai hình bằng nhau
Bài 6. Phép vị tự
Bài 7. Phép đồng dạng
Ôn tập chương I
Các câu hỏi trắc nghiệm – Chương I – Toán 11 Nâng cao

CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Bài 2: Hai đường thẳng song song
Bài 3: Đường thẳng song song với mặt phẳng
Bài 4: Hai mặt phẳng song song
Bài 5: Phép chiếu song song
Bài tập ôn tập chương II
Câu hỏi trắc nghiệm ôn tập chương II

CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc
Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài 5: Khoảng cách
Bài tập ôn tập chương III
Các câu hỏi trắc nghiệm – Chương III – Toán 11 Nâng cao

ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC – TOÁN 11 NÂNG CAO