Bài 29 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; – 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = 3 – t \hfill \cr} \right.\) \(d’:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = – 1 – 2t \hfill \cr 
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t,t,3 – 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M’\left( {t’, – 1 – 2t’,2 + t’} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d’\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM’} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2t,1 + t,2 – t} \right);\) \(\overrightarrow {AM’}  = \left( { – 1 + t’, – 2t’,1 + t’} \right)\).

Do đó:

$$\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM’} } \right] \cr&= \left( {\left| \matrix{
{1 + t}\,\,\,\,\,{2 – t} \hfill \cr 
– 2t’\,\,\,\,\,\,{1 + t’} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
{2 – t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,2t \hfill \cr 
{1 + t’}\,\, \,\,{- 1 + t’ }\hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{1 + t} \hfill \cr 
{- 1 + t’}\,\,\,\,{ – 2t’} \hfill \cr} \right|} \right) \cr 
& = \left( {1 + t + 5t’ – tt’; – 2 – t + 2t’ – 3tt’;1 + t – t’ – 5tt’} \right) \cr} $$

Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM’} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM’} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay: 

\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t’ – tt’ = 0 \hfill \cr 
– 2 – t + 2t’ – 3tt’ = 0 \hfill \cr 
1 + t – t’ – 5tt’ = 0 \hfill \cr} \right.\)

Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t’ = 0 \hfill \cr 
4 + 4t + 26t’ = 0 \hfill \cr} \right.\).

Suy ra \(t =  – {3 \over 2};t’ = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( { – 3; – {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow {AM}  = \left( { – 6; – 1;7} \right)\) nên có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 – 6t \hfill \cr 
y = – 1 – t \hfill \cr 
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)

Cách khác:

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm, ta có Δ =(P)∩(Q), trong đó (P) chứa A và d và (Q) chứa A và d’.

Đường thẳng d đi qua M_o (1,0,3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; – 1} \right)\) nên mp(P) đi qua A(1, -1, 1) và nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}A} } \right] = \left( { – 3;4; – 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.

Suy ra mp(P) có phương trình: -3x+4y-2z+9=0

Tương tự mp(Q) có phương trình: x+y+z-1=0

Vậy phương trình của Δ là \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y – 2z + 9 = 0\\x + y + z – 1 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – 6t\\y =  – 1 – t\\z = 1 + 7t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).

Sachgiaihay.com