Bài 18 trang 95 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Trên đường tròn (O) lấy các điểm A và A’ sao cho sđ cung AA’ = 120⁰. Điểm B trên cung nhỏ , điểm C trên cung lớn AA’ sao cho sđ cung AC= 2 sđ cung AB

a) Chứng minh $\widehat {ACB} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}$ .

b) $\widehat {A’BC} = 2\widehat {A’CB}$

c) Gọi B là điểm chính giữa cung nhỏ AA’ và I là một điểm trên cung nhỏ BA’. J là giao điểm của BI và AA’. Chứng minh $\widehat {BJA’} = \widehat {IA’B}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $sdcung\,AC < {180^0}$ $\Rightarrow sdcung\,AB < {90^0}$.

Ta có: $\widehat {ACB} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AB;\,\,\widehat {ABC} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AC$  (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).

Mà  $sd\,cung\,AC = 2sdcung\,AB$ $\Rightarrow \widehat {ABC} = \dfrac{1}{2}.2sd\,cung\,AB = sd\,cung\,AB$

$\Rightarrow \widehat {ACB} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}sdcung\,A’B = sdAA’ – sdcung\,AB = {120^0} – sdcung\,AB;\,\,\\ sdcung\,A’C = sdcung{\rm{ACA}}’ – sdcung\,AC \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {360^0} – {120^0} – sdcung\,AC\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {240^0} – sdcung\,AC \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {240^0} – 2sdcung\,AB \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 2\left( {{{120}^0} – sdcung\,AB} \right) \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 2sdcung\,A’B\end{array}$

Lại có

$\begin{array}{l}\widehat {A’BC} = \dfrac{1}{2}sdcung\,A’C = \dfrac{1}{2}.2sdcung\,A’B = sdcung\,A’B;\,\,\\\widehat {A’CB} = \dfrac{1}{2}sdcung\,A’B\end{array}$

(số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).

Vậy $\widehat {A’BC} = 2\widehat {A’CB}$.

c)

Vì B là điểm chính giữa cung nhỏ AA’ suy ra sđ cung AB= sđ cung A’B.

Vì $\widehat {BJA’}$ là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên 

$\widehat {BJA’} = \dfrac{{sdcung\,AB – sdcung\,A’I}}{2}$$\, = \dfrac{{sdcung\,A’B – sdcung\,A’I}}{2}$$\, = \dfrac{{sdcung\,IB}}{2}$

Vì $\widehat {IA’B}$ là góc nội tiếp chắn cung IB nên .

Vậy $\widehat {BJA’} = \widehat {IA’B}$.

 Sachgiaihay.com