Giải bài 10 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Vẽ điểm M tùy ý trên (O). Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Điểm N di động trên đường nào khi M di động trên (O)?

Lời giải chi tiết

Đặt $IO{\rm{ }} = {\rm{ }}d{\rm{ }}\left( {d{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0} \right).$

∆MOI có ON là đường phân giác, áp dụng tính chất đường phân giác, ta được: $\frac{{NM}}{{NI}} = \frac{{OM}}{{OI}} = \frac{R}{d}$

Suy ra $\frac{{NM}}{{NI}} + 1 = \frac{R}{d} + 1$

Khi đó $\frac{{NM + NI}}{{NI}} = \frac{{R + d}}{d}$

Vì vậy $\frac{{IM}}{{NI}} = \frac{{R + d}}{d}$

Suy ra $\frac{{IN}}{{IM}} = \frac{d}{{R + d}}$

Do đó $IN = \frac{d}{{R + d}}.IM$

Vì vậy $\overrightarrow {IN}  = \frac{d}{{R + d}}.\overrightarrow {IM}$ (do $\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {IM}$  cùng hướng).

Khi đó phép vị tự tâm I, tỉ số $k = \frac{d}{{R + d}}$  biến điểm M thành điểm N.

Giả sử khi M ở vị trí sao cho ba điểm O, M, I thẳng hàng (tức là, $\widehat {IOM} = 0^\circ$ )thì tia phân giác của góc MOI không thể cắt IM tại N.

Tức là, điểm N không tồn tại.

Ta đặt ${M’_0} = {V_{\left( {I,\frac{d}{{R + d}}} \right)}}\left( {{M_0}} \right)$, với M₀ là điểm nằm trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm $O,{\rm{ }}{M_0},{\rm{ }}I$ thẳng hàng.

Vậy khi M chạy trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm O, M, I không thẳng hàng thì N chạy trên một đường tròn $\left( {O’;{\rm{ }}R’} \right)$ cố định là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép vị tự tâm I, tỉ số $k = \frac{d}{{R + d}}$  sao cho $\;N{\rm{ }} \ne {\rm{ }}{M_0},$  với M₀ là điểm nằm trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm $O,{\rm{ }}{M_0},{\rm{ }}I$ thẳng hàng