Giải bài 17 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Thấu kính hội tụ có thể cho ảnh thật hoặc ảnh ảo A’B’ của vật AB. Tìm phép vị tự biến AB thành A’B’ trong Hình 3 và Hình 4.

Lời giải chi tiết

⦁ Ta xét Hình 4a:

Để tìm phép vị tự biến vật AB thành ảnh A’B’, ta tìm phép vị tự biến A, B lần lượt thành A’, B’.

Ta có AA’ cắt BB’ tại O.

Vì ba điểm O, A, A’ thẳng hàng và A, A’ nằm cùng phía đối với O.

Suy ra $\overrightarrow {OA’}  = k\overrightarrow {OA}$, với k > 0.

Do đó ${V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A’,{\rm{ }}OA'{\rm{ }} = {\rm{ }}k.OA.$

Vì vậy $k = \frac{{OA’}}{{OA}}$

Xét $\Delta$OA’B’ và $\Delta$OAB, có:

$\widehat {AOB}$  chung;

$\widehat {OA’B’} = \widehat {OAB} = 90^\circ$

Do đó $\Delta OA’B’$ đồng dạng $\Delta OAB\,\,(g.g)$

Suy ra $\frac{{OB’}}{{OB}} = \frac{{OA’}}{{OA}} = k$

Vì vậy $OB’ = {\rm{ }}k.OB.$

Mà ba điểm O, B, B’ thẳng hàng và B, B’ nằm cùng phía đối với O.

Suy ra $\overrightarrow {OB’}  = k\overrightarrow {OB}$

Do đó ${V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right){\rm{ }} = {\rm{ }}B’.$

Vậy phép vị tự tâm O, tỉ số $k = \frac{{OA’}}{{OA}}$ biến vật AB thành ảnh A’B’.

⦁ Ta xét Hình 4b:

Để tìm phép vị tự biến vật AB thành ảnh A’B’, ta tìm phép vị tự biến A, B lần lượt thành A’, B’.

Ta có AA’ cắt BB’ tại O.

Vì ba điểm O, A, A’ thẳng hàng và A, A’ nằm khác phía đối với O.

Suy ra $\overrightarrow {OA’}  = k\overrightarrow {OA}$ với k < 0.

Do đó ${V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) = A’,{\rm{ }}OA’ = \left| k \right|.OA.$

Vì vậy $k =  – \frac{{OA’}}{{OA}}$

Xét $\Delta$OA’B’ và $\Delta$OAB, có:

$\widehat {A’OB’} = \widehat {AOB}$  (đối đỉnh);

$\widehat {OA’B’} = \widehat {OAB} = 90^\circ$

Do đó $\Delta OA’B’$ đồng dạng $\Delta OAB\,(g.g)$

Suy ra $\frac{{OB’}}{{OB}} = \frac{{OA’}}{{OA}} = |k|$

Vì vậy $\;OB'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.OB.$

Mà ba điểm O, B, B’ thẳng hàng và B, B’ nằm khác phía đối với O.

Suy ra $\overrightarrow {OB’}  = k\overrightarrow {OB}$

Do đó ${V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right) = B’.$

Vậy phép vị tự tâm O, tỉ số $k =  – \frac{{OA’}}{{OA}}$ biến vật AB thành ảnh A’B’.