Giải bài 5 trang 45 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định như sau, dãy số giảm là:

Đề bài

Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định như sau, dãy số giảm là:

A. ${u_n} = \frac{{3n – 1}}{{n + 1}}$

B. ${u_n} = {n^3}$

C. ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}$

D. ${u_n} = \sqrt n$

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng các cách xác định dãy số tăng hay giảm: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ .

Cách 1: Xét hiệu $H = {u_{n + 1}} – {u_n}$ . Khi đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ giảm khi $H < 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ .

Cách 2: Nếu ${u_n} > 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ , xét thương $T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ . Khi đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ giảm khi $T < 1$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ .

Lời giải chi tiết

a) Xét hiệu:

$H = {u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{3\left( {n + 1} \right) – 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} – \frac{{3n – 1}}{{n + 1}} = \frac{{3n + 2}}{{n + 2}} – \frac{{3n – 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {3n + 2} \right)\left( {n + 1} \right) – \left( {3n – 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

$= \frac{{\left( {3{n^2} + 5n + 2} \right) – \left( {3{n^2} + 5n – 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{4}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ .

Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{3n – 1}}{{n + 1}}$ không là dãy số giảm.

b) Xét hiệu:

$H = {u_{n + 1}} – {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^3} – {n^3} = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 – {n^3} = 3{n^2} + 3n + 1$ .

Do $3{n^2} + 3n + 1 > 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ , nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {n^3}$ không là dãy số giảm.

c) Ta nhận thấy ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}} > 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ .

Xét thương $T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{3^{\left( {n + 1} \right) + 1}}}}:\frac{1}{{{3^{n + 1}}}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{3^{n + 2}}}} = \frac{1}{3}$

Do $T = \frac{1}{3} < 1$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ , nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}$ là dãy số giảm.

d) Ta nhận thấy ${u_n} = \sqrt n > 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ .

Xét thương $T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{\sqrt n }} = \sqrt {\frac{{n + 1}}{n}} = \sqrt {1 + \frac{1}{n}}$

Do $T = \sqrt {1 + \frac{1}{n}} > \sqrt 1 = 11$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ , nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}$ không là dãy số giảm.