Giải bài 3.23 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số $y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)$ là một parabol có tiêu điểm là $F(\frac{{ – b}}{{2a}};\frac{{1 – \Delta }}{{4a}})$ và đường chuẩn là $y =  – \frac{{1 + \Delta }}{{4a}}$, trong đó $\Delta  = {b^2} – 4ac.$

Lời giải chi tiết

Lấy $M(x;a{x^2} + bx + c)$ bất kì thuộc đồ thị hàm số.

 Để đồ thị của hàm số $y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)$ là một parabol có tiêu điểm là $F(\frac{{ – b}}{{2a}};\frac{{1 – \Delta }}{{4a}})$ và đường chuẩn là $y =  – \frac{{1 + \Delta }}{{4a}}$ thì $\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e = 1$

Ta có: $MF = \sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} + {{\left( {a{x^2} + bx + c – \frac{{1 – {b^2} + 4ac}}{{4a}}} \right)}^2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M{F^2} = {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + {\left( {a{x^2} + bx – \frac{{1 – {b^2}}}{{4a}}} \right)^2}\\ \Rightarrow 16{a^2}M{F^2} = 4{\left( {2ax + b} \right)^2} + {\left( {4{a^2}{x^2} + 4abx – 1 + {b^2}} \right)^2}\\ = 4{\left( {2ax + b} \right)^2} + {\left( {{{\left( {2ax + b} \right)}^2} – 1} \right)^2} = {\left( {{{\left( {2ax + b} \right)}^2} + 1} \right)^2}\end{array}$

$\begin{array}{l} + )\;d(M,\Delta ) = \left| {a{x^2} + bx + c + \frac{{1 + {b^2} – 4ac}}{{4a}}} \right| = \left| {a{x^2} + bx + \frac{{1 + {b^2}}}{{4a}}} \right|\\ \Rightarrow {d^2}(M,\Delta ) = {\left( {a{x^2} + bx + \frac{{1 + {b^2}}}{{4a}}} \right)^2}\\ \Rightarrow 16{a^2}d(M,\Delta ) = {\left( {4{a^2}{x^2} + 4abx + 1 + {b^2}} \right)^2} = {\left( {{{\left( {2ax + b} \right)}^2} + 1} \right)^2}\end{array}$

$\Rightarrow \frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e = 1$ (đpcm)