Bài 6 trang 57 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Không giải phương trình $3{x^2} + 5x – 6 = 0$ , hãy tính giá trị các biểu thức sau biết x₁, x₂ là nghiệm của phương trình trên:

a) $A = (3{x_1} – 2{x_2}) + (3{x_2} – 2{x_1})$

b)$B = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2} – 1}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1} – 1}}$

c)$C = \left| {{x_1} – {x_2}} \right|$

d)$D = \dfrac{{{x_1} + 2}}{{{x_1}}} + \dfrac{{{x_2} + 2}}{{{x_2}}}$

Lời giải chi tiết

Áp dụng hệt thức Viet cho phương trình $3{x^2} + 5x – 6 = 0$ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  – \dfrac{5}{3}\\{x_1}.{x_2} =  – 2\end{array} \right.$

a) $A = (3{x_1} – 2{x_2}) + (3{x_2} – 2{x_1})$ $= 9{x_1}{x_2} – 6x_1^2 – 6x_2^2 + 4{x_1}{x_2}$ $= 13{x_1}{x_2} – 6\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)$ $= 13{x_1}{x_2} – 6\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}{x_2}} \right]$ $= 13.\left( { – 2} \right) – 6.\left[ {{{\left( {\dfrac{{ – 5}}{3}} \right)}^2} – 2.\left( { – 2} \right)} \right]$ $=  – 26 – 6.\dfrac{{61}}{9} =  – \dfrac{{200}}{3}$

b) $B = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} – 1}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} – 1}}$$= \frac{{{x_1}\left( {{x_1} – 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} – 1} \right)}}{{\left( {{x_2} – 1} \right)\left( {{x_1} – 1} \right)}}$$= \frac{{x_1^2 – {x_1} + x_2^2 – {x_2}}}{{{x_1}{x_2} – {x_1} – {x_2} + 1}}$$= \frac{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) – \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}$$= \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}$$= \frac{{{{\left( { – \frac{5}{3}} \right)}^2} – 2.\left( { – 2} \right) + \frac{5}{3}}}{{ – 2 + \frac{5}{3} + 1}} = {\rm{\;}}\frac{{38}}{3}$

c) $C = \left| {{x_1} – {x_2}} \right|$ $\Leftrightarrow {C^2} = {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2}$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = x_1^2 + x_2^2 – 2{x_1}{x_2}$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2}$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {\left( {\dfrac{{ – 5}}{3}} \right)^2} – 4.\left( { – 2} \right) = \dfrac{{97}}{9}$ $\Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt {97} }}{3}$

d) $D = \dfrac{{{x_1} + 2}}{{{x_1}}} + \dfrac{{{x_2} + 2}}{{{x_2}}}$ $\;\;\;\;= \dfrac{{\left( {{x_1} + 2} \right){x_2} + \left( {{x_2} + 2} \right){x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}$ $\;\;\;\;= \dfrac{{{x_1}{x_2} + 2{x_2} + {x_1}{x_2} + 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}$ $\;\;\;\; = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}$ $\;\;\;\;= \dfrac{{2.\left( { – 2} \right) + 2.\left( {\dfrac{{ – 5}}{3}} \right)}}{{ – 2}} = \dfrac{{11}}{3}$