Bài 8 trang 58 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình ${x^2} – 2mx + m – 2 = 0$ (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức $M = \dfrac{{ – 24}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 – 6{x_1}{x_2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) ${x^2} – 2mx + m – 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét

$\begin{array}{l}\Delta ‘ = {\left( { – m} \right)^2} – \left( {m – 2} \right) \\\;\;\;\;\;= {m^2} – m + 2\\ \;\;\;\;\;= {m^2} – 2.\dfrac{1}{2}.m + \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{4} + 2\\\;\;\;\;\; = {\left( {m – \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0,\forall m\end{array}$

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Do phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ nên áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = m – 2\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}M = \dfrac{{ – 24}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 – 6{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ – 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}{x_2} – 6{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ – 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 8{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ – 24}}{{4{m^2} – 8\left( {m – 2} \right)}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{ – 24}}{{4{m^2} – 8m + 16}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{6}{{ – {m^2} + 2m – 4}}\end{array}$

M đạt giá trị nhỏ nhất khi $– {m^2} + 2m – 4$ đạt giá trị lớn nhất

Ta có: $– {m^2} + 2m – 4$$\,=  – \left( {{m^2} – 2m + 4} \right)$$\,=  – \left[ {{{\left( {m – 1} \right)}^2} + 3} \right]$$\,=  – {\left( {m – 1} \right)^2} – 3 \le  – 3,\forall m$

Khi đó ta có: $M \ge \dfrac{6}{{ – 3}} =  – 2 \Leftrightarrow m = 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -2 khi m = 1.

Sachgiaihay.com