Giải bài 7 trang 75 sách bài tập toán 8 – Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) AD.BH=AC.BD.

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) AD.BH=AC.BD.

b) HA.HD=HB.HE=HC.HF.

c) BC2=BE.BH+CF.CH.

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác (g.g) để tính: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

test123

a) Tam giác ADC và tam giác BDH có:

^ADC=^BDH=900,^DAC=^HBD (cùng phụ với góc ECB). Do đó, ΔADCΔBDH(g.g), suy ra ADBD=ACBH nên AD.BH=AC.BD

b) Tam giác HEA và tam giác HDB có:

^HEA=^HDB=900,^AHE=^BHD (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ΔHEAΔHDB(g.g), suy ra HEHD=HAHB, do đó HA.HD=HB.HE

Tam giác HFA và tam giác HDC có:

^HFA=^HDC=900,^FHA=^DHC (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ΔHFAΔHDC(g.g), suy ra HFHD=HAHC, do đó, HA.HD=HF.HC

Vậy HA.HD=HB.HE=HC.HF

c) Tam giác BCE và tam giác BHD có:

^BEC=^BDH=900,^HBDchung

Do đó, ΔBCEΔBHD(g.g), suy ra BCBH=BEBD hay BC.BD=BE.BH

Tam giác BCF và tam giác HCD có:

^BFC=^CDH=900,^HCDchung

Do đó, ΔBCFΔHCD(g.g), suy ra BCCH=CFCD hay BC.CD=CF.CH.

Ta có: BE.BH+CF.CH=BC.CD+BC.BD

=BC(BD+CD)=BC2

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE