Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto – SGK Toán 10 Cánh diều

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Tích vô hướng của hai vecto có dùng điểm đầu

+ \( (\overrightarrow {OA}, \overrightarrow {OB})\) là góc giữa hai tia OA, OB.

+ Tích vô hướng \(\overrightarrow {OA}.\overrightarrow {OB}=|\overrightarrow {OA}|.|\overrightarrow {OB}|.\cos (\overrightarrow {OA}, \overrightarrow {OB}) \)

2. Tích vô hướng của hai vecto tùy ý

Cho hai vecto \( \overrightarrow {a}, \overrightarrow {b}\) khác \( \overrightarrow {0}\). Lấy điểm O bất kì, vẽ \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \).Khi đó

+ \(\left( {\;\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = (\overrightarrow {OA}, \overrightarrow {OB})\).

+ \(\overrightarrow {a}.\overrightarrow {b}=|\overrightarrow {a}|.|\overrightarrow {b}|.\cos (\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b}) \)

* Chú ý:

+) \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b) =(\overrightarrow b ,\overrightarrow a ) \)

+) \(\left( {\;\overrightarrow a ,\overrightarrow 0 } \right) = \alpha \) tùy ý, với \({0^ \circ } \le \alpha  \le {180^ \circ }\)

+) \(\left( {\;\overrightarrow a ,\overrightarrow v } \right) = {90^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \). Đặc biệt: \(\overrightarrow 0  \bot \overrightarrow a \;\;\forall \overrightarrow a \;\)

II. TÍCH CHẤT

Cho 3 vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w \) bất kì và mọi số thực k, ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = \overrightarrow v .\;\overrightarrow u \;\\\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \;\\\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v  = k.\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;} \right) = \overrightarrow u .\;\left( {k\overrightarrow v \;} \right)\end{array}\)

III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1. Tính độ dài đoạn thẳng

\(A{B^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {\overrightarrow {AB} ^2}\)

2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

\(AB \bot CD \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0\)