Giải bài 2.27 trang 51 SGK Toán 8 – Cùng khám phá

Đề bài

Chứng minh rằng:

a)     \(\frac{{27{m^4}{n^5}}}{{36{m^5}{n^4}}} = \frac{{3n}}{{4m}}\)

b)    \(\frac{{1 – x}}{{x + 5}} = \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {5 – x} \right)}}{{{x^2} – 25}}\)

c)     \(\frac{{{x^2} – 6xy + 9{y^2}}}{{8xy – 24{y^2}}} = \frac{{x – 3y}}{{8y}}\)

d)    \(\frac{{{x^3} – {y^3}}}{{7x – 7y}} = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{7}\)

Lời giải chi tiết

a)     \(\frac{{27{m^4}{n^5}}}{{36{m^5}{n^4}}} = \frac{{3n}}{{4m}}\) được gọi là bằng nhau khi:

\(\begin{array}{l}27{m^4}{n^5}.4m = 3n.36{m^5}{n^4}\\27{m^4}{n^5}.4m = 108{m^5}{n^5}\\3n.36{m^5}{n^4} = 108{m^5}{n^5}\end{array}\)

Vậy hai phân thức này bằng nhau.

b)    \(\frac{{1 – x}}{{x + 5}} = \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {5 – x} \right)}}{{{x^2} – 25}}\) được gọi là bằng nhau khi:

\(\begin{array}{l}\left( {1 – x} \right)\left( {{x^2} – 25} \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {5 – x} \right).\left( {x + 5} \right)\\\left( {1 – x} \right)\left( {{x^2} – 25} \right) = {x^2} – 25 – {x^3} + 25x\\\left( {x – 1} \right)\left( {5 – x} \right).\left( {x + 5} \right) = \left( {x – 1} \right). – \left( {{x^2} – 25} \right) =  – {x^3} + 25x + {x^2} – 25\end{array}\)

Vậy hai phân thức này bằng nhau.

c)     \(\frac{{{x^2} – 6xy + 9{y^2}}}{{8xy – 24{y^2}}} = \frac{{x – 3y}}{{8y}}\) được gọi là bằng nhau khi:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} – 6xy + 9{y^2}} \right).\left( {8y} \right) = \left( {8xy – 24{y^2}} \right).\left( {x – 3y} \right)\\\left( {{x^2} – 6xy + 9{y^2}} \right).\left( {8y} \right) = 8{x^2}y – 48x{y^2} + 72{y^3}\\\left( {8xy – 24{y^2}} \right).\left( {x – 3y} \right) = 8{x^2}y – 24x{y^2} – 24x{y^2} + 72{y^3} = 8{x^2}y – 48x{y^2} + 72{y^3}\end{array}\)

Vậy hai phân thức này bằng nhau.

d)    \(\frac{{{x^3} – {y^3}}}{{7x – 7y}} = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{7}\) được gọi là bằng nhau khi:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^3} – {y^3}} \right).7 = \left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right).\left( {7x – 7y} \right)\\\left( {{x^3} – {y^3}} \right).7 = 7{x^3} – 7{y^3}\\\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right).\left( {7x – 7y} \right) = \left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right).7\left( {x – y} \right) = 7\left( {{x^3} – {y^3}} \right) = 7{x^3} – 7{y^3}\end{array}\)

Vậy hai phân thức này bằng nhau.