Bài 18 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. BC là tiếp tuyến chung ngoài, $\left( {B \in \left( O \right),C \in \left( {O’} \right)} \right)$. Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC tại M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.  

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$MO$ là tia phân giác của $\angle AMB$ ;

$MO’$ là tia phân giác của $\angle AMC$.

Mà $\angle AMB$ và $\angle AMC$ là 2 góc kề bù $\Rightarrow MO \bot MO’$ $\Rightarrow \angle OMO’ = {90^0}$ $\Rightarrow \angle EMF = {90^0}$.

Ta có : $OA = OB \Rightarrow O$ thuộc trung trực của $AB$ ;

$MA = MB$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow M$ thuộc trung trực của $AB$.

$\Rightarrow OM$ là trung trực của $AB \Rightarrow OM \bot AB$

$\Rightarrow \angle AEM = {90^0}$.

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được $O’M$ là trung trực của $AC \Rightarrow O’M \bot AC$

$\Rightarrow \angle AFM = {90^0}$.

Xét tứ giác $AEMF$ có : $\angle AEM = \angle AFM = \angle EMF = {90^0}$ $\Rightarrow$ $AEMF$ là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).

b) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: $\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\MA = MC\end{array} \right. \Rightarrow MB = MC$ $\Rightarrow M$ là trung điểm của $BC$.

$\Rightarrow M$ là tâm đường tròn đường kính $BC$.

Ta có : $MA = MB = MC = \dfrac{1}{2}BC$ $\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A \Rightarrow \angle BAC = {90^0} \Rightarrow A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ . Mà $MA \bot OO’\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OO’$ vuông góc với bán kính $MA$ của đường tròn đường kính $BC$ tại $A$.

Vậy $OO’$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$.

 Sachgiaihay.com