Bài 15 trang 19 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a khi và chỉ khi P(a) = 0. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x – 3:

\(P(x) = m{x^3} + \left( {m – 2} \right){x^2} – (3n – 5)x – 4n\)  

Lời giải chi tiết

Áp dụng mệnh đề đã cho với \(a =  – 1,\) rồi với \(a = 3,\) ta có

\(P\left( { – 1} \right) = m{\left( { – 1} \right)^3} + \left( {m – 2} \right).{\left( { – 1} \right)^2} \)\(- \left( {3n – 5} \right).\left( { – 1} \right) – 4n\)\( =  – n – 7\)

\(P\left( 3 \right) = m{.3^3} + \left( {m – 2} \right){.3^2} – \left( {3n – 5} \right).3 – 4n \)\(= 36m – 13n – 3\)

Theo giả thiết, \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x + 1\) nên \(P\left( { – 1} \right) = 0\) tức là \( – n – 7 = 0\)

Tương tự, vì \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x – 3\) nên \(P\left( 3 \right) = 0\) tức là \(36m – 13n – 3 = 0\)

Vậy ta phải giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} – n – 7 = 0\\36m – 13n – 3 = 0\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình này ta được \(m =  – \dfrac{{22}}{9};n =  – 7\)

Trả lời: Vậy \(m =  – \dfrac{{22}}{9};n =  – 7\).  

Chú ý: Ta có thể giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} – n – 7 = 0\\36m – 13n – 3 = 0\end{array} \right.\) như sau: 

\(\left\{ \begin{array}{l} – n – 7 = 0\\36m – 13n – 3 = 0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}  n+7 = 0 & & \\ 36m – 13n = 3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7 & & \\ 36m -13.(-7)= 3 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7 & & \\ 36m = -88 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ m = \dfrac{-22}{9}& & \end{matrix}\right.\) 

Sachgiaihay.com