Bài 1.58 trang 36 SBT giải tích 12

LG a

\(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx – 2\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp điều kiện cần, điều kiện đủ.

– Sử dụng điều kiện \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số thì \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0\) tìm \(m\).

– Thay \(m\) tìm được ở trên vào hàm số và kiểm tra \(x = {x_0}\) có là điểm cực trị theo yêu cầu hay không.

Giải chi tiết:

\(y’ = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) thì: \(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3m + 9 = 0 \Leftrightarrow m =  – 3\)

Thử lại, \(m =  – 3\) thì \(y = {x^3} – 3x – 2\).

Khi đó, \(y’ = 3{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

\(y” = 6x;y”(1) = 6 > 0\) nên \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số (thỏa mãn yêu cầu)

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) khi \(m = 3\)

LG b

\(y =  – \dfrac{1}{3}({m^2} + 6m){x^3} – 2m{x^2} + 3x + 1\)  đạt cực đại tại \(x =  – 1\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp điều kiện cần, điều kiện đủ.

– Sử dụng điều kiện \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số thì \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0\) tìm \(m\).

– Thay \(m\) tìm được ở trên vào hàm số và kiểm tra \(x = {x_0}\) có là điểm cực trị theo yêu cầu hay không.

Giải chi tiết:

\(y’ =  – ({m^2} + 6m){x^2} – 4mx + 3\)

\(y'( – 1) =  – {m^2} – 6m + 4m + 3\)\( = ( – {m^2} – 2m – 1) + 4 =  – {(m + 1)^2} + 4\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  – 1\) thì :

\(y'( – 1) =  – {(m + 1)^2} + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {(m + 1)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  – 3\\m = 1\end{array} \right.\)

Thử lại,

+) Với \(m =  – 3\) ta có \(y’ = 9{x^2} + 12x + 3\)

\( \Rightarrow y” = 18x + 12\)\( \Rightarrow y”\left( { – 1} \right) =  – 18 + 12 =  – 6\; < 0\)

Suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x =  – 1\) (thỏa mãn).

+) Với \(m = 1\) ta có:

\(y’ =  – 7{x^2} – 4x + 3\)\( \Rightarrow y” =  – 14x – 4\) \( \Rightarrow y”( – 1) = 10 > 0\)

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  – 1\) (loại).

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x =  – 1\) khi \(m =  – 3\).

Sachgiaihay.com